Câu 5.32 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau

a) \(y = x\sin 2x\,\,\,\,\,\left( {y''} \right)\)                 

b) \(y = {\cos ^2}x\,\,\,\,\,\,\left( {y'''} \right)\)

c) \(y = {x^4} - 3{x^3} + {x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\left( {{y^{\left( n \right)}}} \right)\)

d) \(y = {1 \over {ax + b}}\)  (a,b là các hằng số, \(a \ne 0,{y^{\left( n \right)}}\))

e) \(y=\sin x, \;{y^{\left( n \right)}}\)) 

g) \(y=\cos x, \;{y^{\left( n \right)}}\)) 

Giải

a) \(4\left( {\cos 2x - x\sin 2x} \right)\)                   b) \(4\sin 2x\)

c) \(y' = 4{x^3} - 9{x^2} + 2x;\,y'' = 12{x^2} - 18x + 2;\)

\(y''' = 24x - 18,{y^{\left( 4 \right)}} = 24,{y^{\left( n \right)}} = 0\,\,\,\,\left( {n \ge 5} \right).\)

d) \({{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!.{a^n}} \over {{{\left( {ax + b} \right)}^{ n+ 1}}}}\)

e) ta có

\(\eqalign{& y' = \cos x = \sin \left( {x + {\pi  \over 2}} \right)  \cr& y'' = \cos \left( {x + {\pi  \over 2}} \right) = \sin \left( {x + {{2\pi } \over 2}} \right)  \cr& y''' = \cos \left( {x + {{2\pi } \over 2}} \right) = \sin \left( {x + {{3\pi } \over 2}} \right) \cr} \)

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được

            \({y^{\left( n \right)}} = {\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + {{n\pi } \over 2}} \right)\)

g) Chứng minh tương tự câu e), ta được

               \({\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + {{n\pi } \over 2}} \right)\)

Sachbaitap.com