Câu 5.32 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng caoTính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau a) \(y = x\sin 2x\,\,\,\,\,\left( {y''} \right)\) b) \(y = {\cos ^2}x\,\,\,\,\,\,\left( {y'''} \right)\) c) \(y = {x^4} - 3{x^3} + {x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\left( {{y^{\left( n \right)}}} \right)\) d) \(y = {1 \over {ax + b}}\) (a,b là các hằng số, \(a \ne 0,{y^{\left( n \right)}}\)) e) \(y=\sin x, \;{y^{\left( n \right)}}\)) g) \(y=\cos x, \;{y^{\left( n \right)}}\))
Giải a) \(4\left( {\cos 2x - x\sin 2x} \right)\) b) \(4\sin 2x\) c) \(y' = 4{x^3} - 9{x^2} + 2x;\,y'' = 12{x^2} - 18x + 2;\) \(y''' = 24x - 18,{y^{\left( 4 \right)}} = 24,{y^{\left( n \right)}} = 0\,\,\,\,\left( {n \ge 5} \right).\) d) \({{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!.{a^n}} \over {{{\left( {ax + b} \right)}^{ n+ 1}}}}\) e) ta có \(\eqalign{& y' = \cos x = \sin \left( {x + {\pi \over 2}} \right) \cr& y'' = \cos \left( {x + {\pi \over 2}} \right) = \sin \left( {x + {{2\pi } \over 2}} \right) \cr& y''' = \cos \left( {x + {{2\pi } \over 2}} \right) = \sin \left( {x + {{3\pi } \over 2}} \right) \cr} \) Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được \({y^{\left( n \right)}} = {\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + {{n\pi } \over 2}} \right)\) g) Chứng minh tương tự câu e), ta được \({\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + {{n\pi } \over 2}} \right)\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Xem thêm tại đây:
Bài 5: Đạo hàm cấp cao
|
Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa m,ãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra