Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 5.34 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa m,ãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa m,ãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra

a) \(y = {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^3};\left( {1 + {x^2}} \right)y'' + xy' - 9y = 0\)

b) \(y = 2\sin 2x;{y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}y\)

Giải

a) 

\(\eqalign{
& y' = 3{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2}.\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right] \cr
& y'' = 6\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right] \cr&+ 6\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right].{x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \cr&+ 3{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2}.{1 \over {\left( {{x^2} + 1} \right).\sqrt {{x^2} + 1} }} \cr} \)

Do đó: \(\left( {1 + {x^2}} \right)y'' + xy' - 9y = 0\)

b) Ta có

\(\eqalign{& y' = 2\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y'' =  - {2^2}\sin 2x  \cr& y''' =  - {2^3}\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 4 \right)}} = {2^4}\sin 2x  \cr& {y^{\left( 5 \right)}} = {2^5}\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 6 \right)}} =  - {2^6}\sin 2x  \cr& {y^{\left( 7 \right)}} =  - {2^7}\sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 8 \right)}} = {2^8}\sin 2x  \cr& ... \cr} \)

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được

                        \({y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}\sin 2x = {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}y\)

Sachbaitap.com

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Xem thêm tại đây: Bài 5: Đạo hàm cấp cao