Câu 63* trang 166 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng: \({S_{ABC}} = BD.DC\) Giải:
Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với AB và AC. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AE = AF BE = BD CD = CF BD = BC - CD BE = AB – AE Suy ra: BD + BE = AB + BC – (AE + CD ) = AB + BC – (AE + CE) = AB + BC – AC Suy ra: \(BD = {{AB + BC - AC} \over 2}\) Lại có: CD = BC – BD CF = AC = AF Suy ra: CD + CF = BC + AC – ( BD + AF) = BC + AC – (BE + AE) = BC + AC – BA Suy ra: \(CD = {{BC + AC - AB} \over 2}\) Ta có: \(BD.CD = {{AB + BC - AC} \over 2}.{{BC + AC - AB} \over 2}\) \(= {{\left[ {BC - (AC - AB)} \right]\left[ {BC + (AC - AB)} \right]} \over 4}\) \(={{B{C^2} - {{(AC - AB)}^2}} \over 4} = {{B{C^2} - A{C^2} - A{B^2} + 2AB.AC} \over 4}\) (1) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: BC2 = AB2 + AC2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(BD.CD = {{2AB.AC} \over 4} = {{AB.AC} \over 2}\) Mà \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC\) Vậy \({S_{ABC}} = BD.DC.\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 9 - Xem ngay >> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Xem thêm tại đây:
Bài 6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
|
Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O ; r) bằng
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng đi qua O và song song với AB cắt AC tại D. Đường tròn đi qua O và song song với AC cắt AB ở E. Tứ giác ADOE là hình gì ?
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Kẻ dây CD song song với AB. Chứng minh rằng BC = BD.
Cho hình 76, trong đó hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Chứng minh rằng các tiếp tuyến Bx và Cy song song với nhau.