Câu 66 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức Chú ý rằng nếu c > 0 thì \({\left( {a + b} \right)^2} + c\) và \({\left( {a - b} \right)^2} + c\) đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng : a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức \({{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}\) luôn luôn có giá trị dương; b. Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3 , biểu thức : \({{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) luôn luôn có giá trị âm. Giải: a. \({{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}\) điều kiện \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) \(\eqalign{ & = {{x + 2} \over {x - 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} \over {2\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cr & = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 - 8x - 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - 2x - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{{x^4} - {x^2} + 2{x^3} - 2x + 3{x^2} - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x\left( {{x^2} - 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cr & = {{{x^2} + 2x + 3} \over 2} \cr} \) Biểu thức dương khi \({x^2} + 2x + 3 > 0\) ta có : \({x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 > 0\) với mọi giá trị của x. Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị \(x \ne - 1\) và \(x \ne 1\) b. \({{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne - 3\) \(\eqalign{ & = {{1 - {x^2}} \over x}.{{{x^2} - \left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} - x - 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{{x^2} - x - 3 - {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{ - {x^4} + {x^3} + 7{x^2} - 15x} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{x\left( { - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{ - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \over {x + 3}} = {{ - {x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 12x - 5x - 15} \over {x + 3}} \cr & = {{ - {x^2}\left( {x + 3} \right) + 4x\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} = {{\left( {x + 3} \right)\left( { - {x^2} + 4x - 5} \right)} \over {x - 3}} \cr & = - {x^2} + 4x - 5 = - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right) \cr} \) Vì \({x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 + 1 = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi giá trị của x nên \( - \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right] < 0\) với mọi giá trị của x. Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị \(x \ne 0\)và \(x \ne - 3\)
Xem lời giải SGK - Toán 8 - Xem ngay >> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Xem thêm tại đây:
Bài tập ôn Chương II. Phân thức đại số
|