Câu 94 trang 20 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1Chứng minh Chứng minh: \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\) Từ đó chứng tỏ: a) Với ba số x, y, z không âm thì \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\) b) Với ba số a, b, c không âm thì \({{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \) (Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm). Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau. Gợi ý làm bài Ta có: \({1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\) \( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right]\) \( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {z^2} - 2zx + {x^2}} \right)\) \( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx} \right)\) \( = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\) \( = {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z\) \( + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz\) \( + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2}\) \( = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thưc được chứng minh. a) Nếu \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\) thì: \(x + y + z \ge 0\) \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - z} \right)^2} \ge 0\) Suy ra: \(\eqalign{ Hay: \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\) b) Nếu \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\) thì \(\root 3 \of a \ge 0,\root 3 \of b \ge 0,\root 3 \of {c \ge 0} \) Đặt \(x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \) thì x, y, z cũng không âm. Từ chứng minh trên, ta có: \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\) Hay: \(\eqalign{ Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 9 - Xem ngay >> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
Xem thêm tại đây:
Bài 9: Căn bậc ba
|
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, chứng minh