Câu 94 trang 20 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1Chứng minh Chứng minh: \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\) Từ đó chứng tỏ: a) Với ba số x, y, z không âm thì \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\) b) Với ba số a, b, c không âm thì \({{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \) (Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm). Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau. Gợi ý làm bài Ta có: \({1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\) \( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right]\) \( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {z^2} - 2zx + {x^2}} \right)\) \( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx} \right)\) \( = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\) \( = {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z\) \( + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz\) \( + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2}\) \( = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thưc được chứng minh. a) Nếu \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\) thì: \(x + y + z \ge 0\) \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - z} \right)^2} \ge 0\) Suy ra: \(\eqalign{ Hay: \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\) b) Nếu \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\) thì \(\root 3 \of a \ge 0,\root 3 \of b \ge 0,\root 3 \of {c \ge 0} \) Đặt \(x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \) thì x, y, z cũng không âm. Từ chứng minh trên, ta có: \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\) Hay: \(\eqalign{ Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 9 - Xem ngay >> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Xem thêm tại đây:
Bài 9: Căn bậc ba
|
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, chứng minh