Câu 98 trang 21 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh các đẳng thức:

a) \(\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 }  = \sqrt 6 \)

b) \(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}}}  - \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}}  = 8.\)

Gợi ý làm bài

a) Ta có: \(4 > 3 \Rightarrow \sqrt 4  > \sqrt  3  \Rightarrow 2 > \sqrt 3  > 0\)

 Suy ra: \(\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 }  > 0\)

Ta có: 

\({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^2} = 2 + \sqrt 3  + 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } .\sqrt {2 - \sqrt 3 }  + 2 - \sqrt 3 \)

\( = 4 + 2\sqrt {4 - 3}  = 4 + 2\sqrt 1  = 4 + 2 = 6\)

\({\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 6\)

Vì \({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^2} = {\left( {\sqrt 6 } \right)^2}\) nên \(\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 }  = \sqrt 6 \)

b) Ta có:

\(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}}}  - \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}}  = {{\sqrt 4 } \over {\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} }} - {{\sqrt 4 } \over {\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} }}\)

\( = {2 \over {\left| {2 - \sqrt 5 } \right|}} - {2 \over {\left| {2 + \sqrt 5 } \right|}} = {2 \over {\sqrt 5  - 2}} - {2 \over {\sqrt 5  + 2}}\)

\( = {{2\left( {\sqrt 5  + 2} \right) - 2\left( {\sqrt 5  - 2} \right)} \over {\left( {\sqrt 5  + 2} \right)\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}} = {{2\sqrt 5  + 4 - 2\sqrt {5} + 4 } \over {5 - 4}} = 8\)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Sachbaitap.com