Đề 2 trang 23 Sách bài tập (SBT) Hình học 12Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi A’, B’ , C’ , D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC. ĐỀ 2 (45 phút) Câu 1 (4 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12 Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi A’, B’ , C’ , D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC. a) Chứng minh A’B’C’D’ cũng là một khối tứ diện đều. b) Tính VA’B’C’D’ theo a. Hướng dẫn làm bài a) Gọi E là trung điểm của CD. Khi đó \({{EB'} \over {EA}} = {{EA'} \over {EB}}\) Suy ra B’A’ // AB và \(B'A' = {1 \over 3}AB = {1 \over 3}a\) Tương tự các cạnh khác của tứ diện A’B’C’D’ cũng bằng \({1 \over 3}a\) nên A’B’C’D’ là một khối tứ diện đều. b) Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD). Vì AB = AC = AD nên HB = HC = HD. Suy ra: \(H \equiv A'\) Ta có: \({\rm{AA}}' = \sqrt {{a^2} - {{({a \over {\sqrt 3 }})}^2}} = {{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }}\) \({V_{ABCD}} = {1 \over 3}{1 \over 2}{a^2}{{\sqrt 3 } \over 2}{{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over {12}}\) Vì tứ diện A’B’C’D’ đồng dạng với tứ diện ABCD với tỉ số đồng dạng là \(k = {1 \over 3}\) , nên \({V_{A'B'C'D'}} = {1 \over {27}}{V_{ABCD}} = {{\sqrt 2 } \over {324}}{a^3}\) Câu 2 (6 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân ở B, mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = 3a, AA’ = 5a ,\(\widehat {A'BC} = {60^0}\) . a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB’A’) Hướng dẫn làm bài a) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A’ đến (ABC). Vì \((A'BC) \bot (ABC)\) nên H thuộc đường thẳng BC. Vì \(AB \bot BH\) nên \(AB \bot BA'\). Ta có: \(A'B = \sqrt {A'{A^2} - A{B^2}} = 4a\) ; \(A'H = A'B\sin {60^0} = {{4a\sqrt 3 } \over 2} = 2\sqrt 3 a\) ; \({V_{ABC.A'B'C'}} = {{9{a^2}} \over 2}2a\sqrt 3 = 9\sqrt 3 {a^3}\) b) Ta có: \({V_{A'.ABC}} = {1 \over 3}{V_{ABC.A'B'C'}} = 3\sqrt 3 {a^3};\) \({S_{ABA'}} = {1 \over 2}A'B.AB = {1 \over 2}4a.3a = 6{a^2}\) Vì \({V_{A'.ABC}} = {V_{C.ABA'}} = {1 \over 3}{S_{ABA'}}.d(C,(ABA'))\) \(\Rightarrow d(C,(ABA')) = {{3{V_{A'.ABC}}} \over {{S_{ABA'}}}} = {{9\sqrt 3 {a^3}} \over {6{a^2}}} = {{3\sqrt 3 a} \over 2}\) Chú ý: Có thể giải câu b) bằng cách khác như sau: \(\left\{ {\matrix{{(A'BC) \bot (ABC)} \cr {AB \bot BC} \cr} } \right. \Rightarrow AB \bot (A'BC)\) \(\Rightarrow (ABB'A') \bot (A'BC)\) \(\Rightarrow d(C,(ABB'A')) = d(C,A'B) = BC\sin {60^0} = {{3a\sqrt 3 } \over 2}\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 12 - Xem ngay >> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Xem thêm tại đây:
ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
|
Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V, I là giao điểm các đường chéo của nó. Mặt phẳng (P) đi qua I và cắt các cạnh bên của khối hộp chia khối hộp đó thành hai khối đa diện. Tính thể tích của mỗi khối đa diện đó theo V.