Giải SBT Toán 10 trang 65, 66 Chân trời sáng tạo tập 2

Bài 1 trang 65 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm các giá trị của tham số a, b, c để phương trình \(ax + by + c = 0\) có thể biểu diễn được các đường thẳng trong hình dưới đây

Lời giải:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {0;3} \right) \in d\\\left( { - 1,5;0} \right) \in d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.0 + b.3 + c = 0\\a\left( { - 1,5} \right) + b.0 + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3b + c = 0\\\left( { - 1,5} \right)a + c = 0\end{array} \right.\)

Chọn \(c = 3 \Rightarrow a = 2,b =  - 1\)

Phương trình đường thẳng là \(2x - y + 3 = 0\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {0;1} \right) \in d\\\left( {1;0} \right) \in d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.0 + b.1 + c = 0\\a.1 + b.0 + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\a + c = 0\end{array} \right.\)

Cho \(c =  - 1 \Rightarrow a = 1,b = 1\)

Phương trình đường thẳng là \(x + y - 1 = 0\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {0;3} \right) \in d\\\left( {1;3} \right) \in d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.0 + b.3 + c = 0\\a.1 + b.3 + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3b + c = 0\\a + 3b + c = 0\end{array} \right.\)

Cho \(c =  - 3 \Rightarrow a = 0,b = 1\)

Phương trình đường thẳng là \(y - 3 = 0\)

 d) \(\left\{ \begin{array}{l}\left( { - 2;1} \right) \in d\\\left( { - 2;0} \right) \in d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\left( { - 2} \right) + b.1 + c = 0\\a\left( { - 2} \right) + b.0 + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b + c = 0\\ - 2a + c = 0\end{array} \right.\)

Cho \(c = 2 \Rightarrow a = 1,b = 0\)

Phương trình đường thẳng là \(x + 2 = 0\)

Bài 2 trang 65 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm \(M\left( {2;2} \right)\) và vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {4;7} \right)\)

b) d đi qua điểm \(N\left( {0;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 5;3} \right)\)

c) d đi qua \(A\left( { - 2; - 3} \right)\) và có hệ số góc \(k = 3\)

d) d đi qua hai điểm \(P\left( {1;1} \right),Q\left( {3;4} \right)\)

Lời giải:

a)

+ Phương trình tham số: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 2 + 7t\end{array} \right.\)

+ \(\overrightarrow u  = \left( {4;7} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {7; - 4} \right) \Rightarrow d:7\left( {x - 2} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Rightarrow 7x - 4y - 6 = 0\)

b)

+ Phương trình tổng quát: \(d: - 5\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Rightarrow d: - 5x + 3y - 3 = 0\)

+ \(\overrightarrow n  = \left( { - 5;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow v  = \left( {3;5} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\)

c)

+ Phương trình tổng quát: \(y = 3\left( {x + 2} \right) - 3 \Rightarrow d:y = 3x + 3\)

+ \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow v  = \left( {1;3} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 3 + 3t\end{array} \right.\)

d)

+ \(\overrightarrow {PQ}  = \left( {2;3} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\)

+ \(\overrightarrow {PQ}  = \left( {2;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right) \Rightarrow d:3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Rightarrow 3x - 2y - 1 = 0\)

Bài 3 trang 66 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC, biết \(A\left( {1;4} \right),B\left( {0;1} \right),C\left( {4;3} \right)\)

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC

b) Lập phương trình tham số của đường trung tuyến AM

c) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH

Lời giải:

Ta có \(A\left( {1;4} \right),B\left( {0;1} \right),C\left( {4;3} \right)\)

a) \(\overrightarrow {BC}  = \left( {4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow BC:1\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Rightarrow x - 2y + 2 = 0\)

b) M là trung điểm của BC → \(\begin{array}{l}M\left( {2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {1; - 2} \right)\\ \Rightarrow AM:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 4 - 2t\end{array} \right.\end{array}\)

c) \(\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AH}}}  = \overrightarrow {BC}  = \left( {2;1} \right)\)

\( \Rightarrow AH:2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0 \Rightarrow AH:2x + y - 6 = 0\)

Bài 4 trang 66 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\Delta \) đi qua \(M\left( {3;3} \right)\) và song song với đường thẳng \(x + 2y - 2022 = 0\)

b) \(\Delta \) đi qua \(N\left( {2; - 1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(3x + 2y + 99 = 0\)

Lời giải:

a)

+ \(\Delta \) song song với đường thẳng \(x + 2y - 2022 = 0\) → \(\Delta :x + 2y + c = 0\left( {c \ne  - 2022} \right)\)

+ \(\Delta \) đi qua \(M\left( {3;3} \right)\) → \(3 + 2.3 + c = 0 \Rightarrow c =  - 9 \Rightarrow \Delta :x + 2y - 9 = 0\)

b)

+ \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(3x + 2y + 99 = 0 \Rightarrow \Delta :2x - 3y + c = 0\)

+ \(\Delta \) đi qua \(N\left( {2; - 1} \right)\) → \(2.2 - 3\left( { - 1} \right) + c = 0 \Rightarrow c =  - 7 \Rightarrow \Delta :2x - 3y - 7 = 0\)

Bài 5 trang 66 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) sau đây:

a) \({d_1}:2x + y + 9 = 0\) và \({d_2}:2x + 3y - 9 = 0\)

b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:2x + y + 10 = 0\)

c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 8 - 5t\end{array} \right.\) và \({d_2}:5x - y + 3 = 0\)

Lời giải:

a) Vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;3} \right)\)→ Hai đường thẳng cắt nhau

b) Vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\)

Ta thấy \(\overrightarrow {{n_2}}  = \overrightarrow {{n_1}} \) → Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Xét \(A\left( {2;1} \right)\) thuộc \({d_1}\), ta thấy A không thuộc \({d_2}\) → Hai đường thẳng này song song với nhau

c) Vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {5; - 1} \right)\)

Ta thấy \(\overrightarrow {{n_2}}  = \overrightarrow {{n_1}} \) → Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Xét \(A\left( {1;8} \right)\) thuộc \({d_1}\), ta thấy A cũng thuộc \({d_2}\) → Hai đường thẳng này trùng nhau

Bài 6 trang 66 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\end{array} \right.\)

Tìm giao điểm của d với đường thẳng \(\Delta :x + y - 2 = 0\)

Lời giải:

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) là giao điểm của 2 đường thẳng. 

\( \Rightarrow A \in d\) và \(A \in \Delta \)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_A} = 1 + t}\\
{{y_A} = 2 + 2t}
\end{array}} \right.\) và \({x_A} + {y_A} - 2 = 0\)

\( \Rightarrow  (1 + t) + (2 + 2t) - 2 = 0 \Rightarrow 3t + 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{{ - 1}}{3}\)

\( \Rightarrow {x_A} = \frac{2}{3};{y_A} = \frac{4}{3}\)

Vậy giao của hai đường thẳng là \( A\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3}} \right)\)

Bài 7 trang 66 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trong các trường hợp sau:

a) \({d_1}:5x - 3y + 1 = 0\) và \({d_2}:10x - 6y - 7 = 0\)

b) \({d_1}:7x - 3y + 7 = 0\) và \({d_2}:3x + 7y - 10 = 0\)

c) \({d_1}:2x - 4y + 9 = 0\) và \({d_2}:6x - 2y - 2023 = 0\)

Lời giải:

a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {5; - 3} \right)\) và \(\left( {10; - 6} \right) = 2\left( {5; - 3} \right)\)

=> Hai vecto pháp tuyến cùng phương.

→ Hai đường thẳng song song với nhau\( \Rightarrow \varphi  = {0^ \circ }\)

b) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {7; - 3} \right)\) và \(\left( {3;7} \right)\).

Ta có: \(\left( {7; - 3} \right).\left( {3;7} \right) = 0\)

\(\Rightarrow \) Hai đường thẳng vuông góc với nhau \( \Rightarrow \varphi  = {90^ \circ }\)

c) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {2; - 4} \right)\) và \(\left( {6; - 2} \right)\).

\(cos\varphi  = \frac{{\left| {2.6 + \left( { - 4} \right).\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi  = {45^ \circ }\)

Bài 8 trang 66 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:

a) \(M\left( {2;3} \right)\) và \(\Delta :8x - 6y + 7 = 0\)

b) \(M\left( {0;1} \right)\) và \(\Delta :4x + 9y - 20 = 0\)

c) \(M\left( {1;1} \right)\) và \(\Delta :3y - 5 = 0\)

d) \(M\left( {4;9} \right)\) và \(\Delta :x - 25 = 0\)

Lời giải:

a) \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {8.2 - 6.3 + 7} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\)

b) \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.0 + 9.1 - 20} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {9^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {97} }}\)

c) \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 - 5} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{3}\)

d) \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4 - 25} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 21\)

Bài 9 trang 66 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm c để đường thẳng \(\Delta :4x - 3y + c = 0\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\) có \(J\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 3\)

Lời giải:

\(\Delta\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\) tâm J \( \Leftrightarrow d\left( {J,\Delta } \right) = R\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.1 - 3.2 + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {c - 2} \right|}}{5} = 3 \Leftrightarrow\left| {c - 2} \right| = 15 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 17\\c =  - 13\end{array} \right.\)

Vậy \(c=17\) hoặc \(c=-13\) thì \(\Delta\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\).

Bài 10 trang 66 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: \(\Delta :6x + 8y - 11 = 0\) và \(\Delta ':6x + 8y - 1 = 0\)

Lời giải:

Ta thấy \(\Delta \) và \(\Delta '\) song song với nhau do có cùng VTPT \(\overrightarrow n  = (6;8)\)

\( \Rightarrow \) Khoảng cách giữa hai đường thẳng là:

\(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| { - 11 - \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = 1\)

Bài 11 trang 66 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Một trạm viễn thông \(S\) có tọa độ \(\left( {5;1} \right)\). Một người đang ngồi trên chiếc xe khách chạy trên đoạn cao tốc có dạng một đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(12x + 5y - 20 = 0\). Tính khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông \(S\). Biết rằng mỗi đơn vị độ dài tương ứng với 1 km.

Lời giải:

Khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông S là đường vuông góc (hay khoảng cách) từ S đến đường thẳng \(\Delta \)

\( \Rightarrow d\left( {S,\Delta } \right) = \frac{{\left| {12.5 + 5.1 - 20} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {5^2}} }} = \frac{{45}}{{13}} \approx 3,46\)

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông S là 3,46 km.

Sachbaitap.com