Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 trang 64

Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AD\). Trên đường thẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\) tại \(H\), lấy điểm \(S\). Chứng minh rằng:

a) \(AC \bot \left( {SHK} \right)\);

b) \(CK \bot \left( {SDH} \right)\).

Phương pháp: 

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

Lời giải:

a) Xét tam giác ADB:

H là trung điểm AB

K là trung điểm AD

⇒ HK là đường trung bình của ΔADB.

Ta có:

b) Gọi $I=\mathrm{CK}\cap \mathrm{DH}$

Xét ΔAHD và ΔDKC:

AH = DK

AD = CD

⇒ ΔAHD = ΔDKC (c.g.c)

⇒ DH ⊥ CK

Mà SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CK

Vậy CK ⊥ (SDH).

Bài 3 trang 64 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\sqrt 2 \), có các cạnh bên đều bằng \(2a\).

a) Tính góc giữa \(SC\) và \(AB\).

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác \(SAB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Phương pháp: 

a) Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):

Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.

Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a'\parallel a\) và đường thẳng \(b'\parallel b\).

Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a',b'} \right)\).

b) Sử dụng phép chiếu vuông góc.

Lời giải:

a) Ta có: AB // CD $\Rightarrow$ (SC, AB) = (SC, CD) =

Xét ΔSCD , áp dụng định lí cos, ta có :

b) Gọi $O=\mathrm{AC}\cap \mathrm{BD}$

Ta có:

ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC (1)

ΔSBD cân tại S nên SO ⊥ BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra SO ⊥ (ABCD)

Do đó O là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD).

Mà A, B ∈ (ABCD)

Vậy ΔOAB là hình chiếu vuông góc của ΔSAB lên (ABCD).

Ta có: AC = 

Mà ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của mỗi đường chéo.

Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD) là

Bài 4 trang 64 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a,\widehat {ASB} = 90^\circ ,\widehat {BSC} = {60^ \circ }\) và \(\widehat {ASC} = {120^ \circ }\). Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(AC\). Chứng minh \(SI \bot \left( {ABC} \right)\).

Phương pháp: 

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

Lời giải:

Tam giác SBC cân tại S (vì SB = SC = a ) có 

Suy ra ΔSBC đều nên BC = a

Áp dụng định lí Pythagore vào ΔSAB vuông tại S , ta có :

Áp dụng định lí cos vào ΔSAC , ta có:

Ta có: AB² + BC² = AC² nên ΔABC vuông tại B (theo định lí Pythagore đảo) .

Lại có I là trung điểm AC nên 

ΔSAC cân tại S mà I là trung điểm của AC nên SI ⊥ AC (1)

Ta có: SI² + IB² = SB² nên ΔSBI vuông tại I (theo định lí Pythagore đảo) .

Suy ra SI ⊥ IB (2)

Từ (1) và (2) suy ra SI ⊥ (ABC)

Bài 5 trang 64 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Một cái lều có dạng hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên \(AA'\)vuông góc với đáy (Hình 24). Cho biết \(AB = AC = 2,4m;BC = 2{\rm{ }}m;AA' = 3m\).

a) Tính góc giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\); \(A'B'\) và \(AC\).

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác \(ABB'\) trên mặt phẳng \(\left( {BB'C'C} \right)\).

Phương pháp:

a) Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):

Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.

Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a'\parallel a\) và đường thẳng \(b'\parallel b\).

Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a',b'} \right)\).

b) Sử dụng phép chiếu vuông góc.

Lời giải:

a) + Vì AA′ // BB ′ nên (AA′, BC) = (BB′, BC) =

Ta có: AA ′ ⊥ (ABC), AA′ // BB ′ ⇒ BB ′ ⊥ (ABC) hay BB ′ ⊥ BC

+ Vì A′B′ // AB nên (A ′B′, AC) = (AB, AC) = 

ΔABC có:

b) Kẻ AK ⊥ BC. Mà AA ′ ⊥ (ABC), AA ′ // BB′

⇒ BB ′ ⊥ (ABC)

⇒ BB ′ ⊥ AK (1)

Ta có: AK ⊥ BC; BC // B′C' ⇒ AK ⊥ B′C′ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AK ⊥ (BB′C′C)

⇒ K là hình chiếu vuông góc của A trên (BB ′ C ′ C)

Mà B, B ′ ∈ (BB ′ C ′ C)

Vậy ΔKBB ′ là hình chiếu vuông góc của ΔABB ′ lên (BB ′C′C ).

Ta có: ΔABC cân tại A có AK ⊥ BC K là trung điểm của BC

Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB′ trên mặt phẳng (BB′CC′ ) là

Sachbaitap.com