Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 trang 81, 82

Bài 1 trang 81 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo, \(\widehat {ABC} = {60^ \circ },SO \bot \left( {ABCD} \right),SO = a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Phương pháp: 

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Tính khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải:

Kẻ OI ⊥ CD, OH ⊥ SI

Mà OH ⊥ SI Suy ra OH ⊥ (SCD)

Do đó d(O, (SCD)) = OH.

Ta có: ΔABC đều $\Rightarrow \mathrm{OC}= AC =$

$•\; Xét\; \Delta ABD,\; áp\; dụng\; định\; lí\; cos,\; ta\; có:$

$•\; Xét\; \Delta OCD\; vuông\; tại\; O\; có\; OI\; là\; đường\; cao:$

Ta có SO ⊥ (ABCD) $\Rightarrow$SO ⊥ OI

Do đó, tam giác SOI vuông tại O có OH là đường cao nên

Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) là 

Bài 2 trang 81 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hai tam giác cân \(ABC\) và \(ABD\) có đáy chung \(AB\) và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng \(AB \bot CD\).

b) Xác định đoạn vuông góc chung của \(AB\) và \(C{\rm{D}}\).

Phương pháp: 

‒ Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng bằng \({90^ \circ }\).

Cách 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

‒ Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau:

Bước 1: Xác định mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(b\) mà \(\left( P \right)\) vuông góc với \(a\).

Bước 2: Tìm giao điểm \(I = \left( P \right) \cap a\).

Bước 3: Kẻ \(IA \bot b\left( {A \in b} \right)\), chứng minh \(IA \bot a\). Khi đó \(d\left( {a,b} \right) = IA\).

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm của AB.

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc M của trên CD.

Do đó MH là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Bài 3 trang 81 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA = SB = SC = SD = a\sqrt 2 \). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(C{\rm{D}}\).

a) Chứng minh \(AB \bot \left( {SIJ} \right)\).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).

Phương pháp: 

‒ Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

‒ Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

Lời giải:

a) Ta có: ΔSAB cân tại S và đáy là hình vuông ABCD.

b) Ta có: AB // CD ⇒ AB // (ABCD)

 d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(I, (SCD))

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I, O trên SJ

Vì AB // CD nên CD ⊥ (SIJ)  CD ⊥ IH IH ⊥ (SCD)

$\Rightarrow$ d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = IH = 2OK

Ta có: ABCD là hình vuông

• Xét ΔSAO vuông tại O có

• Xét ΔSOJ vuông tại O có đường cao OK nên

Do đó $2\text{O}K=$

Bài 4 trang 81 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^ \circ }\).