Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 trang 53

Bài 7.16 trang 53 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho hình chóp S.ABC có SA \( \bot \) (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

a) Chứng minh rằng (SAB) \( \bot \)  (ABC) và (SAH) \( \bot \) (SBC).

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat {ABC} = {30^0},AC = a,SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Tính số đo của góc

nhị diện [S, BC, A]

Phương pháp:

- Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

- Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q].

Lời giải:

a) Vì SA ⊥ (ABC) nên (SAB) ⊥ (ABC).

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Vì H là hình chiếu của A trên BC nên AH ⊥ BC.

Vì SA ⊥ BC và AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH), suy ra (SAH) ⊥ (SBC).

b) Vì BC ⊥ (SAH) nên BC ⊥ SH mà AH ⊥ BC nên  là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A].

Xét tam giác ABC vuông tại A,, AC = a có: $\tan$

$\Rightarrow$

Xét tam giác ABC vuông tại A, có

$\Rightarrow$.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại A có: 

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng 45°.

Bài 7.17 trang 53 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng (ACC′A′) \( \bot \) (BDD′B′).

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng \(\widehat {COC'}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C, BD, C'], [A, BD, C'].

Phương pháp:

- Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

- Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q].

Lời giải:

a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên có các mặt là hình vuông.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có 

Vì AA' ⊥ (ABCD) nên AA' ⊥ AC.

Xét tam giác A'AC vuông tại A, có 

Vậy đường chéo của hình lập phương có độ dài là .

b) Vì AA' ⊥ (ABCD) nên AA' ⊥ BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD mà AA' ⊥ BD, suy ra BD ⊥ (ACC'A').

Vì BD ⊥ (ACC'A') nên (ACC'A') ⊥ (BDD'B').

c) Vì BD ⊥ (ACC'A') nên BD ⊥ C'O mà CO ⊥ BD (do AC ⊥ BD) nên là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [C, BD, C'].

Do ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, suy ra .

Xét tam giác C'CO vuông tại C, có .

Vậy số đo của các góc nhị diện [C, BD, C'] khoảng 55°.

Vì AO ⊥ BD (do AC ⊥ BD), BD ⊥ C'O nên  là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BD,C'].

Vì 

Vậy số đo góc nhị diện [A, BD,C'] khoảng 125°.

Bài 7.18 trang 53 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng (BDD′B′) \( \bot \) (ABCD).

b) Xác định hình chiếu của AC′ trên mặt phẳng (ABCD).

c) Cho AB = a, BC = b, CC′ = c. Tính AC′.

Phương pháp:

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải:

a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên BB' ⊥ (ABCD).

Suy ra (BDD'B') ⊥ (ABCD).

b) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên CC' ⊥ (ABCD), suy ra C là hình chiếu của C' trên mặt phẳng (ABCD).

A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABCD). Do đó AC là hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD).

c) Vì ABCD là hình chữ nhật nên

Vì CC' ⊥ (ABCD) nên CC' ⊥ AC.

Xét tam giác C'CA vuông tại C, có

Vậy 

Bài 7.19 trang 53 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Phương pháp:

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q].

Lời giải:

a) Vì hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật nên góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà bằng góc giữa hai đường thẳng OA và OB, mà (OA, OB) = 

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OAB, ta có:

Vậy số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà khoảng 88°.

b) Vì đường giao giữa hai mái nhà vuông góc với OA và OB nên đường giao giữa hai mái nhà vuông góc với mặt phẳng (OAB).

Mà đường giao giữa hai mái nhà song song với mặt đất nên mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng.

c) Gọi H là giao điểm của đường thẳng qua B và song song với mặt đất với đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt đất.

Khi đó góc giữa mái nhà chứa OB và mặt đất là góc OBH.

Xét tam giác AHB vuông tại H, có:

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OAB có:

Vậy góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất khoảng 42°.

Bài 7.21 trang 53 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá \(\frac{1}{{12}}\). Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Phương pháp:

Độ dốc là tang của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang

Lời giải:

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang.

Vì độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá  nên 

Vậy góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá 4,76°.

Sachbaitap.com