Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 trang 96

Bài 9.13 trang 96 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}{e^x}.\) Tính \(f''\left( 0 \right).\)

Phương pháp:

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a;b} \right).\) Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x, kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right).\)

Lời giải:

Với f(x) = x²e^x, ta có:

f'(x) = (x²)' . e^x + x² . (e^x)' = 2x.e^x + x².e^x.

f''(x) = (2e^x + 2x.e^x) + (2x.e^x + x².e^x) = 4xe^x + 2e^x + x²e^x.

Vậy f''(0) = 4 . 0 . e⁰ + 2 . e⁰ + 0² . e⁰ = 2.

Bài 9.14 trang 96 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) \(y = \ln \left( {x + 1} \right);\)             

b) \(y = \tan 2x.\)

Phương pháp:

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a;b} \right).\) Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x, kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right).\)

Lời giải:

a) Ta có y' = (ln(x+1))' = 

b) Ta có y' = (tan2x)' =

Bài 9.15 trang 96 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho hàm số \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + 3\) (a, b là hằng số). Tìm a, b biết \(P'\left( 1 \right) = 0\) và \(P''\left( 1 \right) =  - 2.\)

Phương pháp:

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a;b} \right).\) Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x, kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right).\)

Lời giải:

Ta có:

P'(x) = 2ax + b

P''(x) = 2a

Do P'(1) = 0 và P''(1) = –2 nên ta có:

Bài 9.16 trang 96 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\) Chứng minh rằng \(\left| {f''\left( x \right)} \right| \le 4\) với mọi x.

Phương pháp:

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a;b} \right).\) Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x, kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right).\)

Lời giải:

Ta có:

Vậy |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.Vậy |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.

Bài 9.17 trang 96 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi \(s\left( t \right) = 10 + 0,5\sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{5}} \right),\) trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(a = s''\)

Lời giải:

Vận tốc tại thời điểm t là:

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là:

Tại thời điểm t = 5 giây, gia tốc của vật là: