Giải SGK Toán 11 trang 23, 24 Chân trời sáng tạo tập 1

Bài 1 trang 23 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:

a, \(\frac{{5\pi }}{{12}}\)

b, \(-{\rm{ }}{555^0}\)

Phương pháp:

Áp dụng công thức

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos asinb\\sin\left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos asinb\\\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin asinb\\\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin asinb\\\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\\\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\end{array}\)

Lời giải:

a, Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6} - \sin \frac{\pi }{4}sin\frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6} + \cos \frac{\pi }{4}sin\frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

\(\tan \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{{sin\frac{{5\pi }}{{12}}}}{{cos\frac{{5\pi }}{{12}}}} = 2 - \sqrt 3 \)

\(\cot \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{{\tan \frac{{5\pi }}{{12}}}} = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }}\)

b, Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \left( { - {{555}^0}} \right) = \cos \left( {3\pi  + \frac{\pi }{{12}}} \right) =  - \cos \frac{\pi }{{12}} =  - \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\\ =  - \left( {\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{3}sin\frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin \left( { - {{555}^0}} \right) = \sin \left( {3\pi  + \frac{\pi }{{12}}} \right) = sin\frac{\pi }{{12}} = sin\left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\\ = \sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{3}sin\frac{\pi }{4}\\ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

\(\tan \left( { - {{555}^0}} \right) = \frac{{\sin \left( { - {{555}^0}} \right)}}{{\cos \left( { - {{555}^0}} \right)}} =  - 2 + \sqrt 3 \)

\(\cot \left( { - {{555}^0}} \right) = \frac{1}{{ - 2 + \sqrt 3 }} =  - 2 - \sqrt 3 \)

Bài 2 trang 23 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Tính \(\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{6}} \right),\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\) biết \(\sin \alpha  =  - \frac{5}{{13}},\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)

Phương pháp:

Áp dụng công thức: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos asinb\\\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin asinb\end{array}\)

Lời giải:

Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Tính các giá trị lượng giác của góc 2\(\alpha \), biết:

a, \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{3},0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\)

b, \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{4},\pi  < \alpha  < 2\pi \)

Phương pháp:

Áp dụng công thức:

\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\\\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)

Lời giải:

a, Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\ \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{\sqrt 6 }}{3}\end{array}\)

Vì  \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha .cos\alpha  = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\cos2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 2.{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} - 1 = \frac{1}{3}\\\tan 2\alpha  = \frac{{\sin 2\alpha }}{{cos2\alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = 2\sqrt 2 \\\cot 2\alpha  = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

b,

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\\ \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}}  =  \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}\end{array}\)

Vì \(\pi  < \alpha  < 2\pi  \Rightarrow \frac{\pi }{2} < \frac{\alpha }{2} < \pi  \Rightarrow cos\alpha  =  - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\sin \alpha  = 2\sin \frac{\alpha }{2}.cos\frac{\alpha }{2} = 2.\frac{3}{4}.\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right) =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\\cos\alpha  = 2{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} - 1 = 2.{\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right)^2} - 1 =  - \frac{1}{8}\\\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha .cos\alpha  = 2.\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}} \right).\left( { - \frac{1}{8}} \right) = \frac{{3\sqrt 7 }}{{32}}\\cos2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 2.{\left( { - \frac{1}{8}} \right)^2} - 1 =  - \frac{{31}}{{32}}\\\tan 2\alpha  = \frac{{\sin 2\alpha }}{{cos2\alpha }} = \frac{{\frac{{3\sqrt 7 }}{{32}}}}{{ - \frac{{31}}{{32}}}} =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{{31}}\\\cot 2\alpha  = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{3\sqrt 7 }}{{31}}}} =  - \frac{{31\sqrt 7 }}{{21}}\end{array}\)

Bài 4 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Rút gọn các biểu thức sau:

a, \(\sqrt 2 \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) - cos\alpha \),

b, \({\left( {cos\alpha  + \sin \alpha } \right)^2} - \sin 2\alpha \)

Phương pháp:

Áp dụng công thức lượng giác

\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\)

Lời giải:

Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), biết:

a, \(cos2\alpha  = \frac{2}{5}, - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\)

b, \(\sin 2\alpha  =  - \frac{4}{9},\frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{{3\pi }}{4}\)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức lượng giác để tính toán

Lời giải:

a, Ta có:

\(\begin{array}{l}cos2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = \frac{2}{5}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{7}{{10}} \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt {70} }}{{10}}\end{array}\)

Vì \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt {70} }}{{10}}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{7}{{10}} = \frac{3}{{10}}\\ \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt {30} }}{{100}}\end{array}\)

\( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{{\sqrt {30} }}{{100}}\)

\(\begin{array}{l}\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt {30} }}{{100}}}}{{\frac{{\sqrt {70} }}{{10}}}} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\\\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}}} =  - \frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)

b, Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}2\alpha  + {\cos ^2}2\alpha  = 1\\ \Rightarrow \cos 2\alpha  = \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{4}{9}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{\sqrt {65} }}{9}\end{array}\)

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \pi  < 2\alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow cos2\alpha  =  - \frac{{\sqrt {65} }}{9}\)

\(\begin{array}{l}cos2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 =  - \frac{{\sqrt {65} }}{9}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{{9 - \sqrt {65} }}{{18}} \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \sqrt {\frac{{9 - \sqrt {65} }}{{18}}} \end{array}\)

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{{9 - \sqrt {65} }}{{18}}} \)

Lại có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{{9 - \sqrt {65} }}{{18}} = \frac{{9 + \sqrt {65} }}{{18}}\\ \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \sqrt {\frac{{9 + \sqrt {65} }}{{18}}} \end{array}\)

Vì Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {\frac{{9 + \sqrt {65} }}{{18}}} \)

\(\begin{array}{l}\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\sqrt {\frac{{9 + \sqrt {65} }}{{18}}} }}{{ - \sqrt {\frac{{9 - \sqrt {65} }}{{18}}} }} \approx  - 4,266\\\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} \approx  - 0,234\end{array}\)

Bài 6 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có \(\sin A = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B\)

Phương pháp:

Sử dụng định lý tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180⁰ và áp dụng công thức cộng.

Lời giải:

Xét tam giác ABC, có:

A + B + C = 180° ⇒ A = 180° – (B + C)

sinA = sin(180° – (B + C)) = sin(B + C) = sinB.cosC + sinC.cosB.

Bài 7 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa mãn \(\widehat {CAD} = {30^0}\). Tính \(\tan \widehat {BAD}\), từ đó tính độ dài cạnh CD.

Phương pháp:

Nhìn hình vẽ để tính \(\tan \widehat {BAC}\), sau đó áp dụng công thức cộng để tính \(\tan \widehat {BAD}\).

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

\(\tan \widehat {BAC} = \frac{3}{4}\)

Suy ra, \(\tan \widehat {BAD} = \tan \left( {\widehat {BAC} + \widehat {CAD}} \right) = \tan \left( {\widehat {BAC} + {{30}^0}} \right)\)

\( = \frac{{\tan \widehat {BAC} + \tan {{30}^0}}}{{1 - \tan \widehat {BAC}.\tan {{30}^0}}} = \frac{{\frac{3}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{1 - \frac{3}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} \approx 2,34\)

Xét tam giác vuông ABD vuông tại B có:

\(\begin{array}{l}BD = AB.\tan \widehat {BAD} = 4.2,34 \approx 9,36\\ \Rightarrow CD = BD - BC \approx 9,36 - 3 \approx 6,36\end{array}\)

Bài 8 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I, A, M thẳng hàng. Cho \(\alpha \) là góc quay của trục khuỷu, O là vị trí của pít – tông khi \(\alpha  = \frac{\pi }{2}\) và H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài MH không đổi và gần bằng MA.

a) Biết IA = 8cm, viết công thức tính tọa độ \({x_M}\)của điểm M trên trục Ox theo \(\alpha \).

b) Ban đầu \(\alpha  = 0\). Sau 1 phút chuyển động, \({x_M}\)= – 3cm. Xác định\({x_M}\) sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười

Phương pháp:

Quan sát hình vẽ

Lời giải:

Bài 9 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là \(\frac{{2\pi }}{3}\) và số đo góc (OA, OM) là \(\alpha \).

a) Tính sin\(\alpha \) và cos \(\alpha \).

b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP) từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Phương pháp:

Dựa vào hình vẽ để tìm sin\(\alpha \)và cos \(\alpha \); sử dụng công thức cộng để tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP).

Lời giải:

a, Từ điểm M kẻ MH vuông góc với Ox, MK vuông góc với Oy.

Ta có: MH = 60 – 30 = 30 m.

Khi đó hoành độ điểm M là 30.

⇒ \(\;\sin \alpha {\rm{ }} = \;\frac{{MH}}{{OM}} = \;\frac{{30}}{{31}}\)

\( \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{30}}{{31}}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {61} }}{{31}}\)

b, Vì các cánh quạt tạo thành 3 góc bằng nhau nên \(\widehat {MOP} = \widehat {NOP} = \widehat {MON} = {120^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {AOP} = \widehat {MOP} - \widehat {MOA}\)

\( \Leftrightarrow \sin \widehat {AOP} = \sin \left( {\widehat {MOP} - \widehat {MOA}} \right) = \sin \widehat {MOP}.\cos \widehat {MOA} - \cos \widehat {MOP}.\sin \widehat {MOA}\)

\( = \sin \frac{{2\pi }}{3}.\cos \alpha  - \cos \frac{{2\pi }}{3}.\sin \alpha  \approx 0,7\)

Vì vậy chiều cao của điểm P so với mặt đất là:

31. \(\sin \widehat {AOP}\) + 60 = 31.0,7+ 60 \( \approx \) 81,76 m.

Ta có:

\(\cos \widehat {AOP} \approx \sqrt {1 - 0,{7^2}}  = 0,71\)

\(\widehat {AON} = \widehat {AOP} + \widehat {PON}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \widehat {AON} = \sin \left( {\widehat {AOP} + \widehat {PON}} \right)\\ \Leftrightarrow \sin \widehat {AON} = \sin \widehat {AOP}.\cos \widehat {PON} + \cos \widehat {AOP}.\sin \widehat {PON}\\ \Leftrightarrow \sin \widehat {AON} = 0,7.\cos \frac{{2\pi }}{3} + 0,71.\sin \frac{{2\pi }}{3} \approx 0,26\end{array}\)

\( \Rightarrow \sin \left( {OA,ON} \right) = \sin \widehat {AON} \approx 0,26\)

Vì vậy chiều cao của điểm N so với mặt đất là:

31. \(\sin \widehat {AON}\) + 60 = 31.0,26+ 60\( \approx \) 68,2 m.

Sachbaitap.com