Giải SGK Toán 11 trang 40, 41 Kết Nối Tri Thức tập 1

 A. Trắc Nghiệm

Bài 1.24 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Biểu diễn các góc lượng giác \(\alpha  =  - \frac{{5\pi }}{6},\;\beta  = \frac{\pi }{3},\;\gamma  = \frac{{25\pi }}{3},\delta  = \frac{{17\pi }}{3}\) trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?      

A. \(\beta \) và \( \gamma \)                          

B. \(\alpha \) và \( \gamma \)                                 

C. \(\beta ,\gamma ,\delta \)                           

D. \(\alpha \) và \(\beta \),

Phương pháp:

Để biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác, ta áp dụng:

- Cung có số đo \(\alpha \;\left( {{\alpha ^0}} \right)\) và cung có số đo \(\alpha  + k2\pi \;\left( {{\alpha ^0} + k{{360}^0}} \right)\) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

Lời giải:

Bài 1.25 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. \(\sin \left( {\pi  - \alpha } \right) = \sin \alpha \)   

B. \(\cos \left( {\pi  - a} \right) = \cos \alpha \)

C. \(\sin \left( {\pi  + \alpha } \right) =  - \sin \alpha \).  

D. \(\cos (\pi  + \alpha ) =  - \cos \alpha \)

Phương pháp:

Dựa vào liên hệ góc bù nhau và góc hơn kém nhau \(\pi \)

Lời giải:

Vì π – α và α là hai góc bù nhau nên sin(π – α) = sin α; cos(π – α) = – cos α. Do đó đáp án A đúng và đáp án B sai.

Ta có góc π + α và α là hai góc hơn kém nhau 1 π nên sin(π + α) = – sin α, cos(π + α) = – cos α. Do đó đáp án C và D đều đúng.

Bài 1.26 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)                           

B. \(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\)

C. \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)                           

D. \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

Phương pháp:

Dựa vào công thức cộng lượng giác

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có các công thức cộng:

cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b

sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b

cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

Vậy đáp án A sai.

Bài 1.27 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Rút gọn biểu thức \(M = \cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) - \sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right)\), ta được

A. \(M = \sin 4a\)                   

B. \(M = 1 - 2{\cos ^2}a\)                 

C. \(M = 1 - 2{\sin ^2}a\)                  

D. \(M = \cos 4a\)

Phương pháp:

Dựa vào công thức biến đổi tích thành tổng

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: M = cos(a + b) cos(a – b) – sin(a + b) sin(a – b)

= cos[(a + b) + (a – b)]     (áp dụng công thức cộng)

= cos 2a = 2cos² a – 1 = 1 – 2 sin² a  (áp dụng công thức nhân đôi)

Bài 1.28 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số \(y = \cos x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)

B. Hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là [-1;1]

C. Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số lẻ

D. Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \)

Phương pháp:

Dựa vào định nghĩa và tính chất của hàm số \(\cos x\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = cos x:

- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [– 1; 1];

- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2π.

Bài 1.29 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?

A. \(y = \tan x + x\)    

B. \(y = {x^2} + 1\)              

C. \(y = \cot x\)                      

D. \(y = \frac{{\sin x}}{x}\)

Phương pháp:

Xét tính tuần hoàn của hàm số

- Xét hàm số \(y = f\left( x \right)\), tập xác định là D

- Với mọi \(x \in D\), ta có \(x - {T_0}\; \in D\) và \(x + {T_0} \in D\;\) Chỉ ra \(f\left( {x + {T_0}} \right) = f\left( x \right)\; = f\left( {x - {T_0}} \right)\)

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) tuần hoàn

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.

Bài 1.30 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Đồ thị của các hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn \(\left[ { - 2\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\)?

A. 5                             B. 6                             C. 4                             D. 7

Phương pháp:

Dựa vào phương trình hoành độ giao điểm và công thức lượng giác

Lời giải:

Bài 1.31 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{\sin x - 1}}\) là

A. \(\mathbb{R}\backslash \{ k2\pi {\rm{|}}k\; \in \;\mathbb{Z}{\rm{\} }}\)                                                       

B. \(\mathbb{R}\;\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{|}}k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}\)

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{|}}k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}\)                                             

D. \(\mathbb{R}\backslash \{ k\pi {\rm{|}}k\; \in \;\mathbb{Z}{\rm{\} }}\)

Phương pháp:

Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0

Lời giải:

B. Tự Luận

Bài 1.32 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi ,\cos \alpha  =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{6}} \right)\);     

b) \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{6}} \right);\)           

c) \(\sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{3}} \right)\);      

d) \(\cos \left( {\alpha  - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Phương pháp:

Áp dụng hằng đẳng thức để tính \(\sin \alpha \). Chú ý dấu

Sử dụng công thức cộng lượng giác để tính giá trị biểu thức

Lời giải:

Bài 1.33 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Cho góc bất kì \(\alpha \). Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \({\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = 1 + \sin 2\alpha ;\;\)            

b) \({\cos ^4}\alpha  - {\sin ^4}\alpha  = \cos 2\alpha .\)

Phương pháp:

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Sử dụng công thức nhân đôi để chứng minh

Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin² α + cos² α = 1

và công thức nhân đôi: sin 2α = 2sin α cos α.

Ta có: VT = (sin α + cos α)² = sin² α + cos² α + 2sin α cos α = 1 + sin 2α = VP (đpcm).

b) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin² α + cos² α = 1

và công thức nhân đôi: cos 2α = cos² α – sin² α.

Ta có: VT = cos⁴ α – sin⁴ α = (cos² α)² – (sin² α)²

= (cos² α + sin² α)(cos² α – sin² α) = 1 . cos 2α = cos 2α = VP (đpcm).

Bài 1.34 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) \(y = 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1;\)                       

b) \(y = \sin x + \cos x\).

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Vì \( - 1 \le \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - 2 \le 2{\rm{cos\;}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 2\;\; \Leftrightarrow  - 3 \le 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1 < 1\)

\( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số \(y = 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1\) là \(T = \left[ { - 3;1} \right]\).

b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Vì \( - 1 \le \sin x \le 1,\;\; - 1 \le \cos \alpha  \le 1\;\; \Leftrightarrow  - 2 \le \sin x + \cos x \le 2\)

\( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số \(y = \sin x + \cos x\) là \(T = \left[ { - 2;2} \right]\).

Bài 1.35 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Giải các phương trình sau:

a) \(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);        

b) \(2{\sin ^2}x - 1 + \cos 3x = 0\);        

c) \(\tan \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Phương pháp:

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:

\(\sin x = m\; \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha  + k2\pi }\\{x = \pi  - \alpha  + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

\(\cos x = m\;\; \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha  + k2\pi }\\{x =  - \alpha  + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\;\)

\(\tan x = m\; \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải:

Bài 1.36 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số

                                            \(p\left( t \right) = 115 + 25\sin \left( {160\pi t} \right)\;\)

Trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimet thủy ngân) và thời gian t tính theo phút.

a) Tìm chu kì của hàm số p(t)

b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.

c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.

Phương pháp:

Chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\)

Hàm số \(y = sin\;x\;\) có tập giá trị là \(\left[ { - 1;1} \right]\)

Giải bất phương trình của hàm số huyết áp

Lời giải:

Bài 1.37 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Khi một tia sáng truyền từ không khi vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới i liên hệ với góc khúc xạ r bởi Định luật khúc xạ ánh sáng

                                            \(\frac{{\sin i}}{{\sin r}} = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}\)

Ở đây, \({n_1}\) và  \({n_2}\) tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới \(i = {50^0}\), hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.

Lời giải:

Sachbaitap.com