Giải SGK Toán 11 trang 42, 43 Chân trời sáng tạo tập 1

Câu Hỏi Trắc Nghiệm

Bài 1 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Góc lượng giác nào tương ứng với chuyển động quay \(3\frac{1}{5}\) vòng ngược chiều kim đồng hồ?

\(\begin{array}{l}A.\frac{{16\pi }}{5}\\B.{\left( {\frac{{16}}{5}} \right)^o}\\C.{\rm{ }}1{\rm{ }}152^\circ ;\\D.{\rm{ }}1{\rm{ }}152\pi \end{array}\)

Phương pháp:

1 vòng tròn tương ứng với 2π hay \({360^o}\).

Lời giải:

1 vòng tròn tương ứng với 2π hay \({360^o}\). Vậy \(3\frac{1}{5}\) vòng là \(3\frac{1}{5}{.360^o} = 1{\rm{ }}152^\circ \).

Đáp án: C

Bài 2 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong trường hợp nào dưới đây \(cos\alpha  = cos\beta \) và \(sin\alpha  =  - sin\beta \).

\(\begin{array}{l}A.\;\beta  =  - \alpha \\B.\;\beta  = \pi  - \alpha \\C.\;\beta  = \pi  + \alpha \\D.\;\beta  = \frac{\pi }{2} + \alpha \end{array}\)

Phương pháp:

Áp dụng

\(\begin{array}{l}\sin \left( { - \alpha } \right) =  - \sin \alpha \\\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \end{array}\)

Lời giải:

+) Xét \(\beta  =  - \alpha \), khi đó:

\(\begin{array}{l}cos\beta  = cos\left( {-{\rm{ }}\alpha } \right) = cos\alpha ;\\sin\beta  = sin\left( {-{\rm{ }}\alpha } \right) = -sin\alpha  \Leftrightarrow sin\alpha  = -sin\beta .\end{array}\)

Do đó A thỏa mãn.

Đáp án: A

Bài 3 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = sinx là hàm số chẵn.

B. Hàm số y = cosx là hàm số chẵn

C. Hàm số y = tanx là hàm số chẵn

D. Hàm số y = cotx là hàm số chẵn

Phương pháp:

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D. Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = f(x)\).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có tập xác định của hàm số y = cosx là ℝ.

Nếu với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và y(– x) = cos(– x) = cosx = y(x).

Vậy hàm số y = cosx là hàm số chẵn.

Bài 4 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác \(cos2x = cos\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}A. - \frac{\pi }{9}\\B. - \frac{{5\pi }}{3}\\C. - \frac{{7\pi }}{9}\\D. - \frac{{13\pi }}{9}\end{array}\)

Phương pháp:

Phương trình \({\rm{cosx}} = m\),

• Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:

Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha  = m\). Khi đó:

\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}cos2x = cos\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x =  - x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Với \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \),\(k \in \mathbb{Z}\) đạt giá trị âm lớn nhất khi k = – 1, khi đó \(x = \frac{\pi }{3} - 2\pi  = \frac{{ - 5\pi }}{3}\)

Với \(x =  - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\),\(k \in \mathbb{Z}\) đạt giá trị âm lớn nhất khi k = 0, khi đó \(x = x =  - \frac{\pi }{9} + 0.\frac{{2\pi }}{3} =  - \frac{\pi }{9}\)

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là \( - \frac{\pi }{9}\).
Đáp án: A

Bài 5 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Số nghiệm của phương trình \(tanx = 3\) trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{{7\pi }}{3}} \right)\) là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Phương pháp:

Phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm với mọi m.

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha  = m\). Khi đó:

\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Lời giải:

Bài 6 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức: \(h(t) = 29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}(t - 9)\;\) với h tính bằng độ C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ C và vào lúc mấy giờ?

(Theo https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0168192385900139)

A. \({32^o}C\), lúc 15 giờ

B. \({29^o}C\), lúc 9 giờ

C. \({26^o}C\), lúc 3 giờ

D. \({26^o}C\), lúc 0 giờ

Phương pháp:

Áp dụng tính chất \( - 1 \le \sin x\; \le 1\) và giải phương trình sin.

Lời giải:

\(\begin{array}{l} - 1 \le sin\frac{\pi }{{12}}(t - 9)\; \le 1\\ \Leftrightarrow  - 3 \le 3sin\frac{\pi }{{12}}(t - 9)\; \le 3\\ \Leftrightarrow  - 26 \le 29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}(t - 9)\; \le 32\\ \Leftrightarrow  - 26 \le h(t) \le 32\end{array}\)

Vâỵ nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 26°C khi:

\(\begin{array}{l}29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}(t - 9) = 26\\ \Leftrightarrow sin\frac{\pi }{{12}}(t - 9) =  - 1\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}(t - 9) =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = 3 + 24k,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Do t là thời gian trong ngày tính bằng giờ nên \(0 \le t \le 24\). Suy ra: \(k = 0 \Rightarrow t = 3\).

Vì vậy vào thời điểm 3 giờ trong ngày thì nhiều độ thấp nhất của thành phố là 26°C.

Đáp án: C

Bài Làm Tự Luận

Bài 7 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?

Phương pháp:

1 vòng tròn là 360^o tức \(2\pi \).

Lời giải:

Bài 8 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho \(cos\alpha  = \frac{1}{3}\) và \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\). Tính

\(\begin{array}{l}a)\;sin\alpha \\b)\;sin2\alpha \\c)\;cos\left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}\)

Phương pháp:

Áp dụng:

\({\sin ^2}x + co{s^2}x = 1\)

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\)

\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin asinb\)

Lời giải:

a, Ta có: \({\sin ^2}x + co{s^2}x = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \sin \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}\)

Vì \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\) nên \(sin\alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

\(b)\;\,sin2\alpha  = 2sin\alpha .cos\alpha  = 2.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{1}{3} =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\)

\(c)\;cos(\alpha  + \frac{\pi }{3}) = cos\alpha .cos\frac{\pi }{3} - sin\alpha .sin\frac{\pi }{3}\)\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 6  + 1}}{6}\).

Bài 9 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Chứng minh đẳng thức lượng giác:

\(\begin{array}{l}a)\;sin(\alpha  + \beta ).sin(\alpha  - \beta ) = si{n^2}\alpha  - si{n^2}\beta \\b)\;co{s^4}\alpha  - co{s^4}\left( {\alpha  - \frac{\pi }{2}} \right) = cos2\alpha \end{array}\)

Phương pháp:

Áp dụng:

a, \(\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)

b, \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)

Lời giải:

a) sin(α + β)sin(α – β) = sin²α – sin²β

Ta có: sin(α + β)sin(α – β) =

Bài 10 trang 43 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(sin\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - sin2x = 0\;\) là bao nhiêu?

Phương pháp:

Phương trình sinx = m ,

• Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:

Khi đó, tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha  = m\),

\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải:

Xét phương trình \(sin\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - sin2x = 0\;\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow sin\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = sin2x.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = \pi  - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Với \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \) có nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{\pi }{6}\) khi \(k = 0\).

Với \(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\) có nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{{5\pi }}{{18}}\) khi \(k = 0\).

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{6}\).

Bài 11 trang 43 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{l}a)\;sin2x + cos3x = 0\\b)\;sinx.cosx = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\\c)\;sinx + sin2x = 0\end{array}\)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức lượng giác đã học để đưa về các phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải:

\(\begin{array}{l}a)\;sin2x + cos3x = 0\\ \Leftrightarrow cos\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + cos3x = 0\\ \Leftrightarrow cos\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) =  - cos3x\\ \Leftrightarrow cos\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = cos\left( {\pi  - 3x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 2x = \pi  - 3x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 2x =  - \pi  + 3x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;sinx.cosx = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\;sin2x = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\\ \Leftrightarrow sin2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = sin\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \pi  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\;sinx + sin2x = 0\\ \Leftrightarrow sinx =  - sin2x\\ \Leftrightarrow sinx = sin( - 2x)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2x + k2\pi \\x = \pi  + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{{2\pi }}{3}\\x =  - \pi  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Bài 12 trang 43 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Độ sâu h (m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm t (giờ) sau khi thuỷ triểu lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức \(h(t) = 0,8cos0,5t + 4.\)

(Theo https://noc.ac.uk/files/documents/business/an-introduction-to-tidal-modelling.pdf)

a) Độ sâu của nước vào thời điểm t = 2 là bao nhiêu mét?  

b) Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu 3,6 m để có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy cho biết trong vòng 12 tiếng đầu tiên sau khi thuỷ triểu lên lần đầu tiên, ở những thời điểm t nào tàu có thể hạ thuỷ. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Phương pháp:

a) Thay t = 2 vào công thức h(t).

b) Giải phương trình côsin để tìm t.

Lời giải:

a) Tại thời điểm t = 2 độ sâu của nước là: h(2) = 0,8cos0,5.2 + 4 ≈ 4,43 m.

Vậy độ sâu của nước ở thời điểm t = 2 là khoảng 4,43 m.

Bài 13 trang 43 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho vận tốc \(v{\rm{ }}\left( {cm/s} \right)\) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức \(v =  - 3sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right).\)

Xác định các thời điểm t mà tại đó:

a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất

b) Vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s

Phương pháp:

a, Dựa vào tính chất \( - 1 \le \sin x\; \le 1\) để tìm giá trị lớn nhất.

b, Giải phương trình sin để tìm t.

Lời giải:

Do \( - 1 \le sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - 3 \le  - 3sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 3 \Leftrightarrow  - 3 \le v \le 3\)

a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất khi

 \( - 3sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = 3 \Leftrightarrow sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1,5t + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\1,5t + \frac{\pi }{3} = \pi  + \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Vì vậy vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất tại các thời điểm \(t =  - \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\)

b) Để vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s thì \( - 3sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1,5 \Leftrightarrow sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1,5t + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\1,5t + \frac{\pi }{3} = \pi  + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3}\\t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy tại các thời điểm \(t =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3}\), \(t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3}\), \(k \in \mathbb{Z}\) thì vận tốc của con lắc đạt 1,5 cm/s.

Bài 14 trang 43 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong Hình 1, cây xanh AB nằm trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều cao 5 m. Bóng của cây là BE. Vào ngày xuân phân và hạ phân, điểm E di chuyển trên đường thẳng Bx. Góc thiên đỉnh \({\theta _t} = (AB,AE)\) phụ thuộc vào vị trí của Mặt trời và thay đổi theo thời gian trong ngày theo công thức \({\theta _s}(t) = (AB,AE) = \frac{\pi }{{12}}(t - 12)\;\) rad với t là thời gian trong ngày (theo đơn vị giờ, 6 < t < 18).

(Theo https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/solar-hour-angle)

a) Viết hàm số biểu diễn toạ độ của điểm E trên trục Bx theo t.

b) Dựa vào đồ thị hàm số tang, hãy xác định các thời điểm mà tại đó bóng cây phủ qua vị trí tường rào N biết N nằm trên trục Bx với toạ độ là \({x_N} =  - 4\;\) (m). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Phương pháp:

a, Dựa vào hình vẽ để viết hàm số biểu diễn tọa độ điểm E.

b, Giải bất phương trình để tìm ra t.

Lời giải:

Sachbaitap.com