Giải SGK Toán 11 trang 42, 43 Chân trời sáng tạo tập 1Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 trang 42, bài 10, 11, 12, 13, 14 trang 43 SGK Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo tập 1. Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian? Câu Hỏi Trắc Nghiệm Bài 1 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Góc lượng giác nào tương ứng với chuyển động quay 315 vòng ngược chiều kim đồng hồ? A.16π5B.(165)oC.1152∘;D.1152π Phương pháp: 1 vòng tròn tương ứng với 2π hay 360o. Lời giải: 1 vòng tròn tương ứng với 2π hay 360o. Vậy 315 vòng là 315.360o=1152∘. Đáp án: C Bài 2 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Trong trường hợp nào dưới đây cosα=cosβ và sinα=−sinβ. A.β=−αB.β=π−αC.β=π+αD.β=π2+α Phương pháp: Áp dụng sin(−α)=−sinαcos(−α)=cosα Lời giải: +) Xét β=−α, khi đó: cosβ=cos(−α)=cosα;sinβ=sin(−α)=−sinα⇔sinα=−sinβ. Do đó A thỏa mãn. Đáp án: A Bài 3 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số y = sinx là hàm số chẵn. B. Hàm số y = cosx là hàm số chẵn C. Hàm số y = tanx là hàm số chẵn D. Hàm số y = cotx là hàm số chẵn Phương pháp: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D. Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x∈D thì −x∈D và f(−x)=f(x). Lời giải: Đáp án đúng là: B Ta có tập xác định của hàm số y = cosx là ℝ. Nếu với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và y(– x) = cos(– x) = cosx = y(x). Vậy hàm số y = cosx là hàm số chẵn. Bài 4 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác cos2x=cos(x+π3) là: A.−π9B.−5π3C.−7π9D.−13π9 Phương pháp: Phương trình cosx=m,
Khi |m|≤1sẽ tồn tại duy nhất α∈[0;π] thoả mãn cosα=m. Khi đó: cosx=m⇔cosx=cosα ⇔[x=α+k2πx=−α+k2π(k∈Z) Lời giải: Ta có: cos2x=cos(x+π3)⇔[2x=x+π3+k2π2x=−x−π3+k2π⇔[x=π3+k2πx=−π9+k2π3(k∈Z) Với x=π3+k2π,k∈Z đạt giá trị âm lớn nhất khi k = – 1, khi đó x=π3−2π=−5π3 Với x=−π9+k2π3,k∈Z đạt giá trị âm lớn nhất khi k = 0, khi đó x=x=−π9+0.2π3=−π9 Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là −π9. Bài 5 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Số nghiệm của phương trình tanx=3 trong khoảng (−π2;7π3) là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Phương pháp: Phương trình tanx=m có nghiệm với mọi m. Với mọi m∈R, tồn tại duy nhất α∈(−π2;π2) thoả mãn tanα=m. Khi đó: tanx=m⇔tanx=tanα⇔x=α+kπ,k∈Z. Lời giải: Bài 6 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức: h(t)=29+3sinπ12(t−9) với h tính bằng độ C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ C và vào lúc mấy giờ? (Theo https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0168192385900139) A. 32oC, lúc 15 giờ B. 29oC, lúc 9 giờ C. 26oC, lúc 3 giờ D. 26oC, lúc 0 giờ Phương pháp: Áp dụng tính chất −1≤sinx≤1 và giải phương trình sin. Lời giải: −1≤sinπ12(t−9)≤1⇔−3≤3sinπ12(t−9)≤3⇔−26≤29+3sinπ12(t−9)≤32⇔−26≤h(t)≤32 Vâỵ nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 26°C khi: 29+3sinπ12(t−9)=26⇔sinπ12(t−9)=−1⇔π12(t−9)=−π2+k2π⇔t=3+24k,k∈Z. Do t là thời gian trong ngày tính bằng giờ nên 0≤t≤24. Suy ra: k=0⇒t=3. Vì vậy vào thời điểm 3 giờ trong ngày thì nhiều độ thấp nhất của thành phố là 26°C. Đáp án: C Bài Làm Tự Luận Bài 7 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian? Phương pháp: 1 vòng tròn là 360o tức 2π. Lời giải:
Bài 8 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Cho cosα=13 và −π2<α<0. Tính a)sinαb)sin2αc)cos(α+π3) Phương pháp: Áp dụng: sin2x+cos2x=1 sin2a=2sinacosa cos(a+b)=cosacosb−sinasinb Lời giải: a, Ta có: sin2x+cos2x=1 ⇔sin2α+(13)2=1⇔sinα=±√1−(13)2=±2√23 Vì −π2<α<0 nên sinα<0⇒sinα=−2√23. b)sin2α=2sinα.cosα=2.(−2√23).13=−4√29 c)cos(α+π3)=cosα.cosπ3−sinα.sinπ3=13.12−(−2√23).√32=2√6+16. Bài 9 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Chứng minh đẳng thức lượng giác: a)sin(α+β).sin(α−β)=sin2α−sin2βb)cos4α−cos4(α−π2)=cos2α Phương pháp: Áp dụng: a, sinasinb=12[cos(a−b)−cos(a+b)] b, cos(π2−α)=sinα Lời giải: a) sin(α + β)sin(α – β) = sin2α – sin2β Ta có: sin(α + β)sin(α – β) = Bài 10 trang 43 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin(x+π6)−sin2x=0 là bao nhiêu? Phương pháp: Phương trình sinx = m ,
Khi đó, tồn tại duy nhất α∈[−π2;π2] thoả mãn sinα=m, sinx=m⇔sinx=sinα ⇔[x=α+k2πx=π−α+k2π(k∈Z) Lời giải: Xét phương trình sin(x+π6)−sin2x=0 ⇔sin(x+π6)=sin2x.⇔[x+π6=2x+k2πx+π6=π−2x+k2π⇔[x=π6+k2πx=5π18+k2π3(k∈Z) Với x=π6+k2π có nghiệm dương bé nhất là x=π6 khi k=0.
Với x=5π18+k2π3 có nghiệm dương bé nhất là x=5π18 khi k=0. Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình đã cho là x=π6. Bài 11 trang 43 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Giải các phương trình sau: a)sin2x+cos3x=0b)sinx.cosx=√24c)sinx+sin2x=0 Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác đã học để đưa về các phương trình lượng giác cơ bản. Lời giải: a)sin2x+cos3x=0⇔cos(π2−2x)+cos3x=0⇔cos(π2−2x)=−cos3x⇔cos(π2−2x)=cos(π−3x)⇔[π2−2x=π−3x+k2ππ2−2x=−π+3x+k2π⇔[x=π2+k2πx=3π10+k2π5(k∈Z) b)sinx.cosx=√24⇔12sin2x=√24⇔sin2x=√22=sin(π4)⇔[2x=π4+k2π2x=π−π4+k2π⇔[x=π8+kπx=3π8+kπ(k∈Z) c)sinx+sin2x=0⇔sinx=−sin2x⇔sinx=sin(−2x)⇔[x=−2x+k2πx=π+2x+k2π⇔[x=k2π3x=−π+k2π(k∈Z) Bài 12 trang 43 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Độ sâu h (m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm t (giờ) sau khi thuỷ triểu lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức h(t)=0,8cos0,5t+4. (Theo https://noc.ac.uk/files/documents/business/an-introduction-to-tidal-modelling.pdf) a) Độ sâu của nước vào thời điểm t = 2 là bao nhiêu mét? b) Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu 3,6 m để có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy cho biết trong vòng 12 tiếng đầu tiên sau khi thuỷ triểu lên lần đầu tiên, ở những thời điểm t nào tàu có thể hạ thuỷ. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. Phương pháp: a) Thay t = 2 vào công thức h(t). b) Giải phương trình côsin để tìm t. Lời giải: a) Tại thời điểm t = 2 độ sâu của nước là: h(2) = 0,8cos0,5.2 + 4 ≈ 4,43 m. Vậy độ sâu của nước ở thời điểm t = 2 là khoảng 4,43 m. Bài 13 trang 43 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Cho vận tốc v(cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức v=−3sin(1,5t+π3). Xác định các thời điểm t mà tại đó: a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất b) Vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s Phương pháp: a, Dựa vào tính chất −1≤sinx≤1 để tìm giá trị lớn nhất. b, Giải phương trình sin để tìm t. Lời giải: Do −1≤sin(1,5t+π3)≤1⇔−3≤−3sin(1,5t+π3)≤3⇔−3≤v≤3 a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất khi −3sin(1,5t+π3)=3⇔sin(1,5t+π3)=−1 ⇔sin(1,5t+π3)=sin(−π2)⇔[1,5t+π3=−π2+k2π1,5t+π3=π+π2+k2π⇔t=−5π9+k4π3,k∈Z. Vì vậy vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất tại các thời điểm t=−5π9+k4π3,k∈Z. b) Để vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s thì −3sin(1,5t+π3)=1,5⇔sin(1,5t+π3)=−12 ⇔sin(1,5t+π3)=sin(−π6)⇔[1,5t+π3=−π6+k2π1,5t+π3=π+π6+k2π⇔[t=−π3+k4π3t=5π9+k4π3(k∈Z) Vậy tại các thời điểm t=−π3+k4π3, t=5π9+k4π3, k∈Z thì vận tốc của con lắc đạt 1,5 cm/s. Bài 14 trang 43 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Trong Hình 1, cây xanh AB nằm trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều cao 5 m. Bóng của cây là BE. Vào ngày xuân phân và hạ phân, điểm E di chuyển trên đường thẳng Bx. Góc thiên đỉnh θt=(AB,AE) phụ thuộc vào vị trí của Mặt trời và thay đổi theo thời gian trong ngày theo công thức θs(t)=(AB,AE)=π12(t−12) rad với t là thời gian trong ngày (theo đơn vị giờ, 6 < t < 18). (Theo https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/solar-hour-angle) a) Viết hàm số biểu diễn toạ độ của điểm E trên trục Bx theo t. b) Dựa vào đồ thị hàm số tang, hãy xác định các thời điểm mà tại đó bóng cây phủ qua vị trí tường rào N biết N nằm trên trục Bx với toạ độ là xN=−4 (m). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười. Phương pháp: a, Dựa vào hình vẽ để viết hàm số biểu diễn tọa độ điểm E. b, Giải bất phương trình để tìm ra t. Lời giải: Sachbaitap.com
Xem thêm tại đây:
Bài tập cuối chương 1
|