Giải SGK Toán 11 trang 94 Cánh Diều tập 1

Bài 1 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Khi trát tường, dụng cụ không thể thiếu của người thợ là thước dẹt dài (Hình 28). Công dụng của thước dẹt này là gì? Giải thích.

Phương pháp:

Quan sát thực tế, để làm phẳng tường, người thợ thường dùng thước dẹt để trát

Lời giải:

Thướt dẹt làm cho mặt lớp vữa phẳng và dải mốc cùng nằm trên mặt phẳng

Bài 2 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Hình 29 là hình ảnh của chặn giấy bằng gỗ có bốn mặt phân biệt là các tam giác. Vẽ hình biểu diễn của chặn giấy bằng gỗ đó.

Phương pháp:

Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện

Vậy hình ảnh của chặn giấy bằng gỗ là hình tứ diện

Lời giải:

Hình biểu diễn của chặn giấy bằng gỗ là:

Bài 3 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng đồng quy.

Phương pháp:

Dùng phản chứng: Giả sử ba đường thẳng không đồng quy. Chứng minh điều giả sử là sai.

Lời giải:

Giả sử:

Đường thẳng a và b cắt nhau tại C

Đường thẳng a và c cắt nhau tại B

Đường thẳng b và c cắt nhau tại A

Trong đó: A, B, C không đồng quy (*)

Khi đó: B và C thuộc đường thẳng a

Mặt khác: B thuộc đường thẳng c, C thuộc đường thẳng b

Suy ra: BC thuộc mp chứa đường thẳng b và c

Do đó: Đường thẳng a thuộc mp (b,c) nên ba đường thẳng này đồng quy (mâu thuẫn với (*)).

Vậy ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm.

Bài 4 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD tại O và AB cắt CD tại P. Điểm M  thuộc cạnh SA (M khác S, M khác A). Gọi N là giao điểm của MP và SB, I là giao điểm của MC và DN. Chứng minh rằng S, O, I thẳng hàng

Phương pháp:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Lời giải:

 • Ta có: S ∈ (SAC) và S ∈ (SBD)

Do đó S là giao điểm của (SAC) và (SBD).

Mặt khác: AC ∩ BD = {O}.

                 AC ⊂ (SAC);

                 BD ⊂ (SBD).

Do đó O là giao điểm của (SAC) và (SBD).

Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO.

• Trong mặt phẳng (DMNC) có:

   DN ∩ MC = {I}.

   DN ⊂ (SDB);

   MC ⊂ (SAB).

Do đó I là giao điểm của (SAC) và (SBD).

Suy ra giao tuyến SO của hai mặt phẳng này đi qua điểm I.

Hay I ∈ SO.

Vậy S, I, O thẳng hàng.

Bài 5 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho hình chóp S.ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC sao cho \(MA = 2MS,NS = 2NC\)

a) Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (ABC)

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BMN) với mặt phẳng (ABC) 

Phương pháp:

a) Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt phẳng (P), ta tìm giao điểm của a và một đường thẳng b nằm trong (P):

\(\left\{ \begin{array}{l}a \cap b = M\\b \subset (P)\end{array} \right. \Rightarrow M = a \cap (P)\)

Bước 1: Xác định mp (Q) chứa a

Bước 2: Tìm giao tuyến \(b = (P) \cap (Q)\)

Bước 3: Trong \((Q):a \cap b = M\) mà \(b \subset (P)\)suy ra \(M = a \cap (P)\)

b) Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm điểm chung của chúng.

b, Đường thẳng đi qua hai điểm chung là giao tuyến

Lời giải:

a) Tam giác SAC có: MN cắt AC tại E mà AC thuộc mp (ABC)

Do đó: E là giao điểm của MN và (ABC)

b) Ta có: B thuộc hai mặt phẳng (BMN) và (ABC)

          E thuộc hai mặt phẳng (BMN) và (ABC)

Suy ra: BE là giao tuyến của hai mặt phẳng (BMN) và (ABC)

Bài 6 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi M là trung điểm của SA.

a) Xác định giao điểm của CD với hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SBC) 

Phương pháp:

a) Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt phẳng (P), ta tìm giao điểm của a và một đường thẳng b nằm trong (P):

\(\left\{ \begin{array}{l}a \cap b = M\\b \subset (P)\end{array} \right. \Rightarrow M = a \cap (P)\)

Bước 1: Xác định mp (Q) chứa a

Bước 2: Tìm giao tuyến \(b = (P) \cap (Q)\)

Bước 3: Trong \((Q):a \cap b = M\) mà \(b \subset (P)\)suy ra \(M = a \cap (P)\)

b) Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung là giao tuyến

Lời giải:

 a) Trong mặt phẳng (ABCD) ta có: gọi giao điểm của AB và CD là N.

Mà AB ⊂ (SAB)

Do đó CD ∩ (SAB) = {N}.

b) Ta có: AB ∩ CD = {N};

               AB ⊂ (SAB);

               CD ⊂ (SCD)

Do đó N là giao điểm của (SAB) và (SCD).

Lại có: S ∈ (SAB) và S ∈ (SCD).

Nên S là giao điểm của (SAB) và (SCD).

Vì vậy (SAB) ∩ (SCD) = SN.

c) Ta có: C ∈ (SBC) và C ∈ (MCD).

Do đó C là giao điểm của (SBC) và (MCD).

Trong mặt phẳng (SAB), gọi Q là giao điểm của MN và SB.

Mà MN ⊂ (MCD) và SB ⊂ (SBC)  

Suy ra Q là giao điểm của (SBC) và (MCD).

Vì vậy (SBC) ∩ (MCD) = CQ.

Bài 7 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI)

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: \(\frac{{GM}}{{GA}} = \frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\)

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và \(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{{GQ}}{{GD}} = \frac{1}{3}\)

Phương pháp:

-  Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt phẳng (P), ta tìm giao điểm của a và một đường thẳng b nằm trong (P):

\(\left\{ \begin{array}{l}a \cap b = M\\b \subset (P)\end{array} \right. \Rightarrow M = a \cap (P)\)

Bước 1: Xác định mp (Q) chứa a

Bước 2: Tìm giao tuyến \(b = (P) \cap (Q)\)

Bước 3: Trong \((Q):a \cap b = M\) mà \(b \subset (P)\)suy ra \(M = a \cap (P)\)

Lời giải:

a) Ta có: M là trọng tâm của tam giác BCD

Nên M nằm trên trung tuyến BI (1)

Ta có: N là trọng tâm của tam giác ACD

Nên N nằm trên trung tuyến AI (2)

Từ (1) và (2) suy ra M và N thuộc mp (ABI)

b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG

Ta có: HK // AB

          AB // MN

Suy ra MN // HK

Theo định lý Ta-let, ta có: \(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{{GN}}{{GK}} = \frac{{MN}}{{HK}}(1)\)

Ta có:\(\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{1}{2},\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)

Do đó \(\frac{{MN}}{{AB}}:\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{HK}} = \frac{2}{3}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra\(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{2}{3}GH = \frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{{GM}}{{\frac{1}{2}GA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\)

c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD

Tam giác AHD có:\(\frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra: QM // AD

Do đó, tam giác QGM đồng dạng với tam giác DGA

Nên D, G, Q thẳng hàng

Ta có: QM // AD nên \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)

Mà \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{QG}}{{GD}}\)

Do đó:\(\frac{{QG}}{{GD}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra điều cần chứng minh.

Sachbaitap.com