Giải SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo trang 36

Bài 1 trang 36 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} + x - 2\)

b) \(y = 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3\)

Phương pháp:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các cực trị của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải:

a) y = x³ + x – 2

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 3x² + 1; y' > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

● Các giới hạn tại vô cực:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = – 2 nên (0; – 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ x³ + x – 2 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(0; – 2). 

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Trên các khoảng  nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng  nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại 

Hàm số đạt cực tiểu tại

● Các giới hạn tại vô cực:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = – 3 nên (0; – 3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ , phương trình này có 1 nghiệm nên đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại 1 điểm.

Điểm  là cực đại và điểm là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm 

Bài 2 trang 36 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)

a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y’’ = 0.

b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Phương pháp:

a) I(x;y). Giải phương trình y’’ = 0 ta tìm được x. Thay x vào hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) ta tìm được y

b) Tọa độ của trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm có hoành độ bằng trung bình cộng hoành độ 2 điểm, tung độ bằng trung bình cộng trung bình 2 điểm

Lời giải:

Bài 3 trang 36 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\)

b) \(y = \frac{{x - 3}}{{1 - x}}\)

Phương pháp:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải:

1. Tập xác định: D = ℝ\{0}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm . Vì y' < 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (0; + ∞).

● Tiệm cận: 

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔  nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm 

Đồ thị hàm số không cắt trục Oy.

Ngoài ra, đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 2) và (1; 4).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(0; 3). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 và y = 3.

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm . Vì y' < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).

● Tiệm cận:

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có x = 0 thì y = – 3 nên đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; – 3).

Ta có y = 0 ⇔  ⇔ x = 3 nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (3; 0).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; – 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = – 1.

Bài 4 trang 36 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\)

b) \(y = 2x - \frac{1}{{1 - 2x}}\)

Phương pháp:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải:

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm . Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (0; 1) và (1; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = 2.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = – 2.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 2).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 0).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x – 1.  

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (1; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng , y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = 3.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = – 1.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm 

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận  và y = 2x. 

Bài 5 trang 36 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số: \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}}\)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm toạ độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Phương pháp:

a) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

b) Tọa độ của trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm có hoành độ bằng trung bình cộng hoành độ 2 điểm, tung độ bằng trung bình cộng trung bình 2 điểm

Lời giải:

1. Tập xác định: D = ℝ\{– 2}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Ta có y' = 0 ⇔ x = – 5 hoặc x = 1.

Trên các khoảng (– ∞; – 5) và (1; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 5; – 2) và (– 2; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 5 và yCT = 13.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yCĐ = 1.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận: 

● Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm và đi qua các điểm (– 5; 13), (1; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây. 

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(– 2; 7).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = – 2 và y = – x + 5. 

b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (– 5; 13) và (1; 1).

Ta có  Vậy tọa độ trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (– 2; 7), đây chính là tâm đối xứng I của đồ thị hàm số.

Vậy trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng với tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Bài 6 trang 36 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11).

Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được. Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Phương pháp:

a) Công thức thể tích hình hộp: V = xyz

b) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

− Tìm cực trị của hàm số

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Bạn Việt nên chọn giá trị x mà tại đó cho giá trị của V là lớn nhất theo bảng biến thiên

Lời giải:

a) Sau khi cắt bốn góc tấm bìa và dựng thành chiếc hộp không nắp, khi đó chiếc hộp dựng thành có dạng hình hộp chữ nhật với các kích thước là x, 6 – 2x và 6 – 2x (dm).

Rõ ràng x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 3.

Thể tích của chiếc hộp là V(x) = x(6 – 2x)² (dm³)          (0 < x < 3).

b) Xét hàm số V(x) = x(6 – 2x)² với x ∈ (0; 3).

1. Tập xác định: D = (0; 3).

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm V'(x) = (6 – 2x)² + x ∙ 2(6 – 2x) ∙ (– 2) = (6 – 2x)(6 – 6x).

Trên khoảng (0; 3), ta có V'(x) = 0 ⇔ x = 1.

Trên khoảng (0; 1), V'(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Trên khoảng (1; 3), V'(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số có một điểm cực trị là điểm cực đại tại x = 1, yCĐ = 16.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 16) và (2; 8).

Đồ thị hàm số V(x) trên khoảng (0; 3) được biểu diễn như hình dưới đây.

Từ đó, ta thấy để tìm được độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất, ta cần tìm x0 ∈ (0; 3) sao cho V(x0) có giá trị lớn nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy trong khoảng (0; 3) hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất là 

Vậy độ dài cạnh của hình vuông cần cắt bỏ là 1 dm thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất.  

Sachbaitap.com