Giải SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức trang 72

Bài 2.20 trang 72 SGK Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {3;1;2} \right)\), \(\overrightarrow b  = \left( { - 3;0;4} \right)\) và \(\overrightarrow c  = \left( {6; - 1;0} \right)\)

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c \) và \(2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  - 5\overrightarrow c \).

b) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( { - \overrightarrow b } \right)\) và \(\left( {2\overrightarrow a } \right).\overrightarrow c \).

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:

+ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\)

+ \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {x - x';y - y';z - z'} \right)\)

+ \(k\overrightarrow a  = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.

+ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = xx' + yy' + zz'\).

Lời giải:

Bài 2.21 trang 72 SGK Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M\left( { - 4;3;3} \right),N\left( {4; - 4;2} \right)\) và \(P\left( {3;6; - 1} \right)\).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \), từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {NP} \), từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.

c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.

a) Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} \right)\) và \(N\left( {{x_N};{y_N};{z_N}} \right)\).

Khi đó, \(\overrightarrow {MN}  = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right)\).

+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ không cùng phương để chứng minh ba điểm không thẳng hàng: Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) không cùng phương thì ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm tọa độ điểm Q: Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì \(\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {NQ} \)

Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)\) thì \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\)

c) Sử dụng kiến về chu vi hình bình hành để tính: Chu vi hình bình hành MNPQ là: \(C = 2\left( {MN + NP} \right)\).

Lời giải:

Bài 2.22 trang 72 SGK Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {0; - 3;1} \right)\) và \(C\left( {4; - 1;4} \right)\).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng \(\widehat {BAC} = {90^0}\).

c) Tính \(\widehat {ABC}\).

Phương pháp:

a) Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\) thì tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).

b) Sử dụng kiến thức về nhận xét biểu thức tọa độ tích vô hướng trong không gian để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \). Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu \(xx' + yy' + zz' = 0\)

c) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)

Lời giải:

Bài 2.23 trang 72 SGK Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8m, chiều rộng là 6m và chiều cao là 3m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về tọa độ trung điểm của đoạn thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\). Khi đó, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).

Lời giải:

Giả sử căn phòng hình hộp chữ nhật được mô phỏng như hình vẽ.

Khi đó ta có B' (6; 8; 3) và O'(0; 0; 3).

Gọi I là điểm chính giữa trần nhà của phòng học.

Vì O'A'B'C' là hình chữ nhật nên I là trung điểm của O'B'.

Vậy tọa độ điểm treo đèn là (3; 4; 3).

Bài 2.24 trang 72 SGK Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30km. Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là (25; 15; -10) đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)

Lời giải:

Để xác định xem ra đa có thể phát hiện được tàu thám hiểm hay không, ta cần xác định khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm.

Theo đề ta có tọa độ của ra đa là (0; 0; 0), tọa độ của tàu thám hiểm là (25; 15; −10).

Khi đó khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm là:

Vì phạm vi theo dõi của ra đa là 30 km mà khoảng khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm là 30,82 km nên ra đa không phát hiện được tàu thám hiểm.

Sachbaitap.com