Giải Toán 7 trang 107 Cánh Diều tập 2

Bài 1 trang 107 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh:

\(GA + GB + GC = \dfrac{2}{3}(AM + BN + CP)\).

Phương pháp:

Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Lời giải:

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Bài 2 trang 107 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:

a) BM = CN;                                                                    b) \(\Delta GBC\)cân tại G.

Phương pháp:

a) Chứng minh BM = CN bằng cách chứng minh tam giác ABM bằng tam giác ACN.

b) Chứng minh \(\Delta GBC\)cân tại G bằng cách chứng minh GB = GC.

Lời giải:

Do BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB.

Do đó BN = MC.

Xét ∆NBC và ∆MCB có:

BN = MC (chứng minh trên).

BC chung.

Do đó ∆NBC = ∆MCB (c - g - c).

Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).

Bài 3 trang 107 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:

a) GA = GD;                              

b) \(\Delta MBG = \Delta MCD\);                                               

c) \(CD = 2GN\).

Phương pháp:

a) Dựa vào tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.

b) Chứng minh hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c.

c) Dựa vào kết quả phần b) để chứng minh \(CD = 2GN\).

Lời giải:

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.

Xét ∆MBG và ∆MCD có:

MB = MC (theo giả thiết).

\(\widehat {GMB} = \widehat {DMC}\)(đối đỉnh)

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó ∆MBG = ∆MCD (c - g - c).

c) Do ∆MBG = ∆MCD (c - g - c) nên CD = BG (2 cạnh tương ứng).

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.

Mà CD = BG nên CD = 2GN.

Bài 4 trang 107 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:

a) \(\Delta AHB = \Delta AHM\);                                                 b) \(AG = \dfrac{2}{3}AB\).

Phương pháp:

a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHM\)theo trường hợp c.g.c.

b) Dựa vào kết quả chứng minh phần a) và tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác để chứng minh.

Lời giải:

a) Do H là hình chiếu của A trên BC nên AH ⊥ BC.

Xét ∆AHB vuông tại H và ∆AHM vuông tại H có:

AH chung.

HB = HM (theo giả thiết).

Do đó ∆AHB = ∆AHM (2 cạnh góc vuông).

b) Do ∆AHB = ∆AHM (2 cạnh góc vuông) nên AB = AM (2 cạnh tương ứng).

∆ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).

Mà AB = AM suy ra: \(AG = \dfrac{2}{3}AB\).

Bài 5 trang 107 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà ba tầng có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.

a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?

b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất.

Phương pháp:

a) Xét 2 tam giác ABH và ACH bằng nhau, suy ra 2 góc H bằng nhau (\(=90^0\))

b) Tính khoảng cách vị trí O so với mặt đất bằng cách tính độ cao của ba tầng và khoảng cách OH.

Lời giải:

b) Do O là trọng tâm của tam giác ABC nên \(OH = \dfrac{1}{3}AH\). Vậy \(OH = \dfrac{1}{3}.1,2 = 0,4\)(m).

Do mỗi tầng cao 3,3 m nên vị trí O ở độ cao 0,4 + 3,3 . 3 = 10,3 m so với mặt đất.

Sachbaitap.com