Giải Toán 7 trang 84 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Bài 4.23 trang 84 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Phương pháp:

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau để suy ra 2 cạnh tương ứng bằng nhau

Lời giải:

Do tam giác ABC cân tại A nên 

Xét hai tam giác FCB vuông tại F và EBC vuông tại E có:

 (chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $\Delta FCB=\Delta EBC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Vậy BE = CF (2 cạnh tương ứng).

Bài 4.24 trang 84 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Phương pháp:

Chứng minh 2 tam giác AMC và AMB bằng nhau từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải:

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Xét hai tam giác ABM và ACM có:

AB = AC (chứng minh trên).

AM chung.

MB = MC (chứng minh trên).

Bài 4.25 trang 84 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Phương pháp:

a)      Chứng minh tam giác hai tam giác AMB và AMC bằng nhau \(\Rightarrow\) Tam giác ABC cân.

b)      Từ M kẻ hai đường vuông góc với AC và AB từ đó chứng minh hai góc B và C bằng nhau.

\(\Rightarrow\) Chứng minh hai tam giác AMB và AMC bằng nhau

\(\Rightarrow\)  Tam giác ABC cân

Lời giải:

a) 

Do M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Do $AM\perp BC$ nên tam giác AMB vuông tại M, tam giác AMC vuông tại M.

Xét hai tam giác AMB vuông tại M và AMC vuông tại M có:

AM chung.

MB = MC (chứng minh trên).

Do đó $\Delta AMB=\Delta AMC$ (2 cạnh góc vuông).

Khi đó AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

b) 

Do AM là tia phân giác của 

Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA.

Xét hai tam giác AMC và IMB có:

AM = IM (theo giả thiết).

 (hai góc đối đỉnh).

MC = MB (theo giả thiết).

Do đó $\Delta AMC=\Delta IMB$ (c – g – c).

Khi đó  (2 góc tương ứng) và AC = BI (2 cạnh tương ứng).

Mà 

Tam giác BIA có $\widehat{BAI}=\widehat{BIA}$ nên tam giác BIA cân tại B hay BI = BA.

Mà BI = AC nên AB = AC.

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 4.26 trang 84 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Phương pháp:

Áp dụng tổng ba góc trong tam giác bằng 180 độ.

Lời giải:

a) Do tổng ba góc trong 1 tam giác bằng 180 độ nên tam giác không thể có 2 góc vuông

=>Tam giác vuông cân sẽ có 2 góc nhọn bằng nhau

=> Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.

b) Giả sử hai góc nhọn trong tam giác vuông là x, ta có:

\(\begin{array}{l}x + x + {90^o} = {180^o}\\ \Rightarrow 2x = {90^o}\\ \Rightarrow x = {45^o}\end{array}\)

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°.

c) Gọi góc còn lại của tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 45° là x, ta có:

\(x + {45^o} + {90^o} = {180^o} \Rightarrow x = {45^o}\)

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Bài 4.27 trang 84 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB?

Phương pháp:

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Lời giải:

Trong Hình 4.70, ta thấy đường thẳng m vuông góc với AB tại trung điểm của AB nên đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 4.28 trang 84 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Phương pháp:

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau suy ra 2 cạnh tương ứng bằng nhau, 2 góc tương ứng bằng nhau

Chú ý: Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc bằng 90 độ

Lời giải:

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, 

Do  nên tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.

Xét hai tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D có:

AB = AC (chứng minh trên).

 (chứng minh trên).

Do đó $\Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D}$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Khi đó BD = CD (2 cạnh tương ứng) hay D là trung điểm của BC.

Do AD vuông góc với BC tại trung điểm của BC nên AD là đường trung trực của BC.

Vậy đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Sachbaitap.com