Bài 10 trang 215 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho phương trình bậc hai

\(a{x^2} - 2(a + 1)x + {(a + 1)^2}a = 0\) (E)

Kí hiệu S là tổng, P là tích các nghiệm (nếu có) của phương trình trên.

a) Với giá trị nào của a, phương trình (E) có nghiệm?

b) Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của (E).

c)Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với a.

d) Với những giá trị nào của a, các nghiệm \({x_1},{x_2}\) của (E) thỏa mãn hệ thức \({x_1} = 3{x_2}\)? Tìm các nghiệm \({x_1},{x_2}\) trong mỗi trường hợp đó.

Gợi ý làm bài

a) Phải có:

\(\Delta  = {(a + 1)^2} - {(a + 1)^2}{a^2} = {(a + 1)^2}(1 - {a^2}) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow  - 1 \le a \le 1,a \ne 0\)

b) Ta có:

\(P = {(a + 1)^2}\)

\(P = 0 \Leftrightarrow a =  - 1\), khi đó \({x_1} = {x_2} = 0\)

\(P > 0,\forall a \ne  - 1\) khi đó \({x_1},{x_2}\) cùng dấu.

Mặt khác \(S = {{2(a + 1)} \over a}\)

Suy ra:

Với \(0 < a \le 1\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều dương;

Với \( - 1 \le a < 0\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều âm;

c) Từ \(S = {{2(a + 1)} \over a}\) suy ra \(a = {2 \over {S - 2}}\)

Do đó: \(P = {\left( {{2 \over {S - 2}} + 1} \right)^2} = {{{S^2}} \over {{{(S - 2)}^2}}} \Leftrightarrow {(S - 2)^2}P - {S^2} = 0\)

d) \(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = {{2(a + 1)} \over a} \hfill \cr
{x_1} = 3{x_2} \hfill \cr} \right. = > 4{x_2} = {{2(a + 1)} \over a}\)

\(\left\{ \matrix{
{x_1}{x_2} = {(a + 1)^2} \hfill \cr
{x_1} = 3{x_2} \hfill \cr} \right. = > 3x_2^2 = {(a + 1)^2}.\)

Suy ra: 

\({(a + 1)^2}(4{a^2} - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = - 1 \hfill \cr
a = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr
a = - {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Với a = - 1 ta có: \({x_1} = {x_2} = 0\)

Với \(a = {{\sqrt 3 } \over 2}\) ta có: \({x_2} = {{3 + 2\sqrt 3 } \over 6};{x_1} = {{3 + 2\sqrt 3 } \over 2}\)

Với \(a =  - {{\sqrt 3 } \over 2}\) ta có: \({x_2} = {{3 - 2\sqrt 3 } \over 6};{x_1} = {{3 - 2\sqrt 3 } \over 2}\)

Sachbaitap.net