Bài 1.12 trang 20 sách bài tập (SBT) – Hình học 12Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c. a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB). Hướng dẫn làm bài: a) Ta có \(\left\{ {\matrix{{BC \bot SA} \cr {BC \bot AB} \cr} } \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\) Vì \(AD \subset (SAB)\) nên \(AD \bot BC\) Mặt khác \(AD \bot SB\) nên \(AD \bot (SBC)\) Từ đó suy ra \(AD \bot SC\) \(\left\{ {\matrix{{SC \bot AE} \cr {SC \bot AD} \cr} } \right. \Rightarrow SC \bot (ADE) \Rightarrow SC \bot DE\) hay \(SE \bot (ADE)\) . Trong tam giác vuông SAB ta có: \(SA.AB = AD.SB \Rightarrow AD = {{AB.SA} \over {SB}} = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\) Tương tự, trong tam giác vuông SAC ta có: \(AE = {{SA.AC} \over {SC}} = {{c\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\) Do \(AD \bot (SBC)\) nên \(AD \bot DE\) . Từ đó suy ra: \(DE = \sqrt {A{E^2} - A{D^2}}\) \( = \sqrt {{{{c^2}({a^2} + {b^2})} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}} - {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}}\) \( = {{{c^2}b} \over {\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}\) \(SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}}\) \( = \sqrt {{c^2} - {{{c^2}({a^2} + {b^2})} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}}}\) \( = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\) Vậy \({V_{S.ADE}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}AD.DE.SE \) \(= {1 \over 6}{{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.{{{c^2}b} \over {\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}.{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\) \( = {{ab{c^5}} \over {6({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})}}\) b) Gọi d là khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB) Ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} - A{D^2}} = \sqrt {{c^2} - {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\) \({V_{S.ADE}} = {V_{E.SAD}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}SD.AD.d \) \(= {1 \over 6}{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}{{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}d \) \(= {1 \over 6}{{a{c^3}} \over {{a^2} + {c^2}}}d\) Kết hợp với kết quả trong câu a) ta suy ra \(d = {{b{c^2}} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 12 - Xem ngay >> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Xem thêm tại đây:
Bài 3. Khái niệm về thể tích khối đa diện
|
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt phẳng của nó là một số không đổi.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A’B’ và B’C’. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c. Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc cạnh BB’ và DD’ sao cho.