Bài 15, 16, 17, 18, 19 trang 51, 52 SGK Toán 9 tập 1 - Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

Bài 15 trang 51 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

a) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = 2x;\,\,\,y = 2x + 5;\,\,\,y =  - \dfrac{2}{3}x\)  và  \(y =  - \dfrac{2}{3}x + 5\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 

b) Bốn đường thẳng trên cắt nhau tạo thành tứ giác \(OABC\) (\(O\) là gốc tọa độ). Tứ giác \(OABC\) có phải là hình bình hành không ? Vì sao ?

Lời giải:

a) 

+) Hàm số  \(y = 2x\):

Cho \(x=1 \Rightarrow y=2.1=2 \Rightarrow M(1; 2)\)

Đồ thị hàm số trên là đường thẳng đi qua gốc \(O(0;0)\) và điểm \(M(1; 2)\).

+) Hàm số \(y = 2x + 5\):

Cho \(x=0 \Rightarrow y=2.0+5=0+5=5 \Rightarrow B(0; 5)\).

Cho \(x=-2,5 \Rightarrow y=2.(-2,5)+5=-5+5=0 \)

\(\Rightarrow E(-2,5; 0)\)

Đồ thị hàm số trên là đường thẳng đi qua điểm \(B(0; 5)\) và \(E(-2,5; 0)\)

+) Hàm số \(y = - \dfrac{2}{3}x\):

Cho \(x=1 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}.1=-\dfrac{2}{3} \Rightarrow N {\left(1; -\dfrac{2}{3}\right)}\)

Đồ thị hàm số trên là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\) và điểm \(N {\left(1; -\dfrac{2}{3}\right)}\) 

+) Hàm số \(y = - \dfrac{2}{3}x + 5\):

Cho \(x=0 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}.0+5=0+5=5 \Rightarrow B(0; 5)\)

Cho \(x=7,5 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}.7,5+5=-5 +5=0 \)

\(\Rightarrow F(7,5; 0)\)

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm \(B(0; 5)\) và \(F(7,5; 0)\).

Ta có hình vẽ sau:

 b) Ta có:

+ Đồ thị của hàm số \(y = 2x\) song song với đồ thị hàm số \(y =  2x + 5\) \(\Rightarrow OC // AB\)

+ Đồ thị của hàm số \(y=-\dfrac{2}{3}x\) song song với đồ thị hàm số \(y=-\dfrac{2}{3}x+5\) \(\Rightarrow OA // BC\)

Do đó tứ giác \(OABC\) là một hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Bài 16 trang 51 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

a) Vẽ đồ thị các hàm số y = x và  y = 2x + 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị nói trên, tìm tọa độ điểm A.

c) Vẽ qua điểm \(B(0; 2)\) một đường thẳng song song với trục \(Ox\), cắt đường thẳng \(y = x\) tại điểm \(C\). Tìm tọa độ của điểm \(C\) rồi tính diện tích tam giác \(ABC\) (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét). 

Lời giải:

a) +) Hàm số \(y=x\):

Cho \(x= 1 \Rightarrow y=1 \Rightarrow M(1; 1)\)

\(\Rightarrow \) đồ thị hàm số \(y=x\) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\) và điểm \(M(1; 1)\).

+) Hàm số \(y=2x+2\) 

Cho \(x=0 \Rightarrow y=2.0+2=2 \Rightarrow B(0; 2)\).

Cho \(x=-1 \Rightarrow y=2.(-1)+2=-2+2=0 \Rightarrow (-1; 0)\)

Đồ thị hàm số \(y=2x+2\) là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ là \(B(0; 2)\) và \((-1; 0)\).

Đồ thị như hình bên.

b) Tìm tọa độ giao điểm \(A\):

 Hoành độ giao điểm \(A\) là nghiệm của phương trình:

\(x = 2x + 2\)\(\Leftrightarrow x -2x = 2\)\(\Leftrightarrow  -x =2\) \(\Leftrightarrow  x =-2\)

Thay \(x=-2\) vào công thức hàm số \(y=x\), ta được: \(y=-2\)

Vậy tọa độ cần tìm là: \(A(-2; -2)\).

c) +) Tìm tọa độ điểm \(C\)

Đường thẳng qua \(B(0; 2)\) song song với trục hoành có phương trình là \(y=2\)

Vì điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(y=2\) nên có tung độ là \(y=2\)

Vì \(C\) cũng thuộc đường thẳng \(y=x\) nên \(x=y=2\)

Vậy ta có tọa độ điểm \(C(2;2)\)

+) Tính diện tích tam giác \(ABC\):

Kẻ \(AE  \bot BC\), ta có \(AE=2+2=4\) và \(BC=2\) 

Tam giác \(\Delta{ABC}\) có \(AE\) là đường cao ứng với cạnh \(BC\).

Diện tích \(\Delta{ABC}\) là:

\(S=\dfrac{1}{2}.AE.BC=\dfrac{1}{2}.4.2=4\) \((cm^2)\).

Bài 17 trang 51 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

a) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = x + 1\) và \(y = -x + 3\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Hai đường thẳng \(y = x + 1\) và \( y = -x + 3\) cắt nhau tại \(C\) và cắt trục \(Ox\) theo thứ tự tại \(A\) và \(B\). Tìm tọa độ của các điểm \(A,\ B,\ C\). 

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác \(ABC\) (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét)

Phương pháp:

a) Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax+b,\ (a \ne 0)\): Đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0)\) là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm \(A(-\dfrac{b}{a}; \, 0).\) 

+) Cắt trục tung tại điểm \(B(0;b).\) 

Xác định tọa độ hai điểm \(A\) và \(B\) sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  \(y=ax+b \, \, (a\neq 0).\)

b) +) Đồ thị hàm số \(y=ax\) và \(y=a'x+b'\) cắt nhau tại \(A\) thì hoành độ điểm \(A\) là nghiệm của phương trình: \(ax=a'x+b'.\) Giải phương trình tìm \(x\), rồi thay vào một trong hai công thức hàm số trên tìm được tung độ điểm \(A\).

c) +) Chu vi tam giác \(ABC\) là: \(C_{\Delta{ABC}}=AB+BC+AC\).

+) Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S_{\Delta{ABC}}=\dfrac{1}{2}.h.a\)

trong đó: \(h\) là độ dài đường cao, \(a\) là độ dài cạnh ứng với đường cao.

+) Định lí Py-ta-go trong tam giác vuông: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) khi đó:

           \(BC^2=AC^2+AC^2\)

Lời giải:

a) Xem hình dưới đây:

+) Hàm số \(y=x+1\):

Cho \(x=0 \Rightarrow y=0+1=1 \Rightarrow M(0; 1)\)

Cho \(y=0 \Rightarrow 0=x+1 \Rightarrow x=-1 \Rightarrow P(-1; 0)\)

Đồ thị hàm số \(y=x+1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(P(-1; 0)\) và \(M(0;1)\).

+) Hàm số \(y=-x+3\)

Cho \(x=0 \Rightarrow y=0+3 =3 \Rightarrow N(0; 3)\)

Cho \(y=0 \Rightarrow 0=-x+3 \Rightarrow x=3  \Rightarrow Q(3; 0)\)

Đồ thị hàm số \(y=-x+3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(Q(3; 0)\) và \(N(0; 3)\). 

Ta có hình vẽ sau:

b)

+) \(C\) là giao điểm của \(y=x+1\) và \(y=-x+3\) nên hoành độ của \(C\) là nghiệm của phương trình:

\(x+1=-x+3\)

\(\Leftrightarrow x+x=3-1\)

\(\Leftrightarrow 2x=2\)

\(\Leftrightarrow x=1\).

Tung độ của \(C\) là: \(y=1+1=2\).

Vậy \(C(1; 2)\).

+) \(A\) là giao điểm của \(y=x+1\) và trục hoành \(Ox:\, y=0\) nên hoành độ của \(A\) là:

\(x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy \(A(-1; 0)  \equiv  P\).

+) \(B\) là giao điểm của \(y=-x+3\) và trục hoành \(Ox:\, y=0\) nên hoành độ điểm \(B\) là:

\(-x+3=0\)

\(\Leftrightarrow -x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy \( B(3; 0) \equiv Q.\)

c)

Ta có: \(AB=3+1=4,\)

+) Áp dụng định lí Py- ta-go, ta tính được:

        \(AC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt 8 =2\sqrt 2\)

        \(BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt 8 =2\sqrt 2\)

Do đó chu vi của tam giác \(ABC\) là:

        \(AB+BC+AC=4+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4+4\sqrt{2}(cm)\)

+) Ta có: \(BC^2+AC^2=(2\sqrt 2)^2+(2\sqrt 2)^2\)\(=8+8=16=4^2=AB^2\)

Nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\). (Định lí Pytago đảo)

+) Diện tích của tam giác \(ABC\) là:

\(S=\dfrac{1}{2}.AC.BC=\dfrac{1}{2}.2\sqrt 2.2\sqrt 2=4(cm^2)\)

Bài 18 trang 52 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

a) Biết rằng với \(x = 4\) thì hàm số \(y = 3x + b\) có giá trị là \(11\). Tìm \(b\). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị \(b\) vừa tìm được.

b) Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = ax + 5\) đi qua điểm \(A (-1; 3)\). Tìm a. Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị \(a\) vừa tìm được.

Phương pháp:

a) Thay giá trị của \(x,\ y\) đã biết vào công thức hàm số ta tìm được \(b\).

b) Thay tọa độ điểm \(A\) vào công thức hàm số ta tìm được \(a\).

* Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=ax+b,\ (a \ne 0)\): Đồ thị hàm số \(y=ax+b \, \, (a\neq 0)\) là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm \(A(-\dfrac{b}{a}; \, 0).\) 

+) Cắt trục tung tại điểm \(B(0;b).\) 

Xác định tọa độ hai điểm \(A\) và \(B\) sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  \(y=ax+b \, \, (a\neq 0).\)

Lời giải:

a)  Thay \(x = 4\)  và  \(y = 11\) vào \(y = 3x +b\), ta được:

\(11 = 3.4 + b\) 

\(\Leftrightarrow 11=12+b\)

\(\Leftrightarrow 11- 12 =b\)

\(\Leftrightarrow b=-1\).

Khi đó hàm số đã cho trở thành: \(y = 3x – 1\).

+ Cho \(x=0 \Rightarrow y=3.0 - 1=-1 \Rightarrow A(0; -1)\)

    Cho \( y=0  \Rightarrow 0=3.x - 1 \Rightarrow x=\dfrac{1}{3} \Rightarrow B{\left(\dfrac{1}{3}; 0 \right)}\)

Do đó đồ thị hàm số \(y=3x+b\)  là đường thẳng đi qua \(2\) điểm \(A(0;-1)\) và \(B\left( {\dfrac{1}{3};0} \right)\). Ta có hình vẽ sau:

b) Thay \(x= -1 \) thì \(y=3\) vào công thức hàm số \(y=ax+5\), ta được: 

\( 3= a.(-1) + 5 \)

\(\Leftrightarrow 3 = -a +5\)

\(\Leftrightarrow a = 5-3\) 

\(\Leftrightarrow a = 2\)

Khi đó hàm số đã cho trở thành: \(y = 2x + 5\).

+ Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2.0 +5=5 \Rightarrow A(0; 5)\)

    Cho \(y=0 \Rightarrow 0= 2. x +5 \Rightarrow x=\dfrac{-5}{2} \Rightarrow B {\left(-\dfrac{5}{2}; 0 \right)}\)

Do đó đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm \(A(0; 5)\) và \(B \left( { - \dfrac{5}{2};0} \right)\).

Bài 19 trang 52 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt 3 x + \sqrt 3 \) được vẽ bằng compa và thước thẳng.

Hãy tìm hiểu cách vẽ đó rồi nêu lại các bước thực hiện. 

Áp dụng: Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \sqrt 5 x + \sqrt 5 \) bằng compa và thước thẳng.

Hướng dẫn. Tìm điểm trên trục tung có tung độ bằng \(\sqrt 5 \). 

Lời giải:

+ Vẽ đồ thị hàm số: \(y=\sqrt 3 x + \sqrt 3\) 

    Cho \(x= 0 \Rightarrow y = \sqrt 3 . 0 + \sqrt 3 = \sqrt 3 \Rightarrow M(0; \sqrt 3)\).

    Cho \(y=0  \Rightarrow 0 = \sqrt 3 . x + \sqrt 3 \Rightarrow x= -1 \Rightarrow N(-1; 0)\).

Đồ thị hàm số \(y=\sqrt 3 x + \sqrt 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(M(0; \sqrt 3)\) và \(N(-1; 0)\)

+ Ta đi xác định vị trí điểm \(M(0; \sqrt 3)\) trên trục tung:

Bước \(1\): Xác định điểm \(A(1; 1)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Khi đó theo định lí Py-ta-go, ta có:

             \(OA^2=1^2+1^2=2 \Leftrightarrow OA =\sqrt 2\)

Bước \(2\): Dùng compa vẽ cung tròn tâm \(O\) bán kính \(OA =\sqrt 2\). Cung tròn này cắt trục \(Ox\) tại vị trí \(C\) thì hoành độ của \(C\) là \(\sqrt 2\).

Bước \(3\): Xác định điểm \(B( \sqrt 2; 1)\). Khi đó theo định lí Py-ta-go, ta có:

            \(OB^2=(\sqrt 2)^2+1^2=2+1=3 \Leftrightarrow OB =\sqrt 3\)

Bước \(4\): Dùng compa vẽ cung tròn tâm \(O\) bán kính \(OB=\sqrt 3\). Khi đó cung tròn này cắt trục tung tại vị trí điểm có tung độ là \(\sqrt 3\). Ta xác định được điểm \(M(0; \sqrt 3)\).

Bước \(5\): Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm \(M\) và \(N\) ta được đồ thị hàm số \(y=\sqrt 3 x + \sqrt 3\).

+ Áp dụng: Vẽ đồ thị hàm số \(y = \sqrt 5 x + \sqrt 5 \) (làm tương tự như trên)

    Cho \(x= 0 \Rightarrow y = \sqrt 5 . 0 + \sqrt 5 = \sqrt 5 \Rightarrow B(0; \sqrt 5)\).

    Cho \(x= -1 \Rightarrow y = \sqrt 5 . (-1) + \sqrt 5 = 0 \Rightarrow C(-1; 0)\).

Đồ thị hàm số \(y=\sqrt 5 x + \sqrt 5\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(B(0; \sqrt 5)\) và \(C(-1; 0)\)

Các bước vẽ: 

Bước \(1\): Xác định điểm \(A(2; 1)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

           Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

             \(OA^2=2^2+1^2=4+1=5 \Leftrightarrow OA = \sqrt 5\)

Bước \(2\): Vẽ cung tròn tâm \(O\) bán kính \(OA=\sqrt 5\). Cung tròn này cắt trục \(Oy\) tại vị trí điểm \(B\) có tung độ là \(\sqrt 5\). Ta xác định được điểm \(B(0; \sqrt 5)\).

Bước \(3\): Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm \(B(0; \sqrt 5)\) và \(C(-1; 0)\) ta được đồ thị của hàm số \(y = \sqrt 5 x + \sqrt 5 \).

Sachbaitap.com