Bài 16 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao

Điểm \(M\) gọi là chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k \ne 1\) nếu \(\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \).

a) Xét vị trí của điểm \(M\) đối với hai điểm \(A, B\) trong các trường hợp:

\(k \le 0;0 < k < 1;\,k > 1;\,k =  - 1.\)

b) Nếu \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\,\) ( \(k \ne 1\) và \(k \ne 0\)) thì \(M\) chia đoạn thẳng \(BA\)  theo tỉ số nào?

c) Nếu \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\,\) ( \(k \ne 1\) và \(k \ne 0\)) thì \(A\) chia đoạn thẳng \(MB\)  theo tỉ số nào? \(B\) chia đoạn thẳng \(MA\)  theo tỉ lệ nào?

d) Chứng minh rằng: Nếu điểm \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k \ne 1\) thì với điểm \(O\) bất kì, ta luôn có

\(\overrightarrow {OM}  = \dfrac{{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB} }}{{1 - k}}\).

Giải

a) Nếu \(k \le 0\) thì \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\), hoặc trùng  với \(A.\)

Nếu \(0 < k < 1\) thì \(A\) nằm giữa \(M\) và \(B\).

Nếu \(k > 1\) thì \(B\) nằm giữa \(A\) và \(M\).

Nếu \(k = -1\) thì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

b) Theo giả thiết: \(k \ne 0\) và \(k \ne 1\) ta có

\(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\, \Leftrightarrow \,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}\)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MB}  = \dfrac{1}{k}\overrightarrow {MA} \)

\(\Leftrightarrow \,\,M\) chia đoạn thẳng BA theo tỉ số \(\dfrac{1}{k}\).

c) M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số  \(k\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}\)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB} )\) hay \(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {AB} \,\, \Leftrightarrow \,\,A\) chia đoạn thẳng MB theo tỉ số \(\dfrac{k}{{k - 1}}\).

M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số 

\(\begin{array}{l}k\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BM}  = k\overrightarrow {MB} \,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BM}  = \dfrac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {BA} \,\end{array}\)

\( \Leftrightarrow B\) chia đoạn thẳng MA theo tỉ số \(\dfrac{1}{{1 - k}}\)

d) M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số \(k\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OM}  = k(\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OM} )\) (trong đó O là điểm bất kì )

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB}  = (1 - k)\overrightarrow {OM}   \cr  &  \Leftrightarrow \,\overrightarrow {OM}  = {{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB} } \over {1 - k}} \cr} \)

Sachbaitap.com