Bài 1.7 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho n số thực \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) thoả mãn điều kiện

\( - 1 < {a_i} \le 0\) với \(i = \overline {1,n} \)

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có

\(\left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right)...\left( {1 + {a_n}} \right) \ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\)   

Giải:

Với n = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1\) tức là

\(\left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right)...\left( {1 + {a_k}} \right) \ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_k}\)  (1)

Nhân hai vế của (1) với \(1 + {a_{k + 1}}\) ta được

\(\eqalign{
& \left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right) \ldots \left( {1 + {a_k}} \right)\left( {1 + {a_{k + 1}}} \right) \ge \left( {1 + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}} \right)\left( {1 + {a_{k + 1}}} \right) \cr
& = 1 + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_k} + {a_{k + 1}} + {a_1}{a_{k + 1}} + {a_2}{a_{k + 1}} + \ldots + {a_k}{a_{k + 1}} \cr}\)

Vì \({a_1}{a_{k + 1}} + {a_2}{a_{k + 1}} + ... + {a_k}.{a_{k + 1}} > 0\) nên

\(\left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right)...\left( {1 + {a_k}} \right)\left( {1 + {a_{k + 1}}} \right) \ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_k} + {a_{k + 1}}\), nghĩa là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1.\)