Bài 1.8 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với các số thực \({a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n}\left( {n \in N*} \right)\), ta có

\9\left| {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right| \le \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right| + ... + \left| {{a_n}} \right|\)

Giải:   

Với n = 1 thì \(\left| {{a_1}} \right| = \left| {{a_1}} \right|\)

Với n = 2 thì \(\left| {{a_1} + {a_2}} \right| \le \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right|\). Đây là bất đẳng thức khá quen thuộc và dấu bằng xảy ra khi \({a_1},{a_2}$\) cùng dấu.

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 2\) . Đặt \({a_1} + {a_2} + ... + {a_k} = A\) ta có  

\(\left| A \right| \le \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right| + ... + \left| {{a_k}} \right|\)    (1)

Mà \(\left| {A + {a_{k + 1}}} \right| \le \left| A \right| + \left| {{a_{k + 1}}} \right| \le \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right| + ... + \left| {{a_k}} \right| + \left| {{a_{k + 1}}} \right|\)

Nên \(\left| {{a_1} + {a_2} + ... + {a_k} + {a _{k + 1}}} \right| \le \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right| + ... + \left| {{a_k}} \right| + \left| {{a_{k + 1}}} \right|\), tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).