Bài 2.4 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (u_n) với

a)      Viết công  thức truy hồi của dãy số ;

b)      Chứng minh dãy số bị chặn dưới ;

c)      Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.

Giải:

a)      Ta có \({u_1} = 0\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - 4\left( {n + 1} \right) + 3 - {n^2} + 4n - 3 = 2n - 3\)

Vậy công thức truy hồi là 

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 0. \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 3{\rm\,\,{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

b) \({u_n} = {n^2} - 4n + 3 = {\left( {n - 2} \right)^2} - 1 \ge  - 1\). Vậy dãy số  bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

c)

\(\eqalign{
& {S_n} = 1 + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} - 4\left( {1 + 2 + ... + n} \right) + 3n \cr
& {\rm{ = }}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6} - 4.{{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} + 3n \cr
& {\rm{ = }}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) - 12n\left( {n + 1} \right) + 18n} \over 6} \cr
& {\rm{ = }}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n - 11} \right) + 18n} \over 6} \cr} \)