Bài 18 trang 193 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh rằng

a) \(\sin {20^0} + 2\sin {40^0} - \sin {100^0} = \sin {40^0}\)

b) \({{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )}} = \tan \alpha \)

c) \({{3{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {3 - c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} =  - \cot {15^0}\)

d) \(\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ = }}{{\sqrt 3 } \over 2}\)

Gợi ý làm bài

a) 

\(\eqalign{
& \sin {20^0} + 2\sin {40^0} - \sin {100^0} \cr
& = (\sin {20^0} - \sin {100^0}) + 2\sin {40^0} \cr} \)

=\(2\cos {60^0}\sin ( - {40^0}) + 2\sin {40^0}\)

=\( - \sin {40^0} + 2\sin {40^0} = \sin {40^0}\)

b) 

\(\eqalign{
& {{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )}} \cr
& = {{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - \sin {\rm{(}}{{45}^0} - \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \sin {\rm{(}}{{45}^0} - \alpha )}} \cr} \)

=\({{2\cos {{45}^0}\sin \alpha } \over {2\sin {{45}^0}\cos \alpha }} = {{\sqrt 2 \sin \alpha } \over {\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha \)

c) 

\({{3{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {3 - c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} = {{{{\cot }^2}{{30}^0}{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{30}^0} - {{\cot }^2}{{15}^0}}}\)

=\({{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} + 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} - \cot {{15}^0}}}.{{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} - 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} + \cot {{15}^0}}}\)

Mặt khác ta có

\(\cot (\alpha  + \beta ) = {{\cos (\alpha  + \beta )} \over {\sin (\alpha  + \beta )}} = {{\cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta } \over {\sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta }}\)

Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho \(\sin \alpha \sin \beta \) ta được

\(\cot (\alpha  + \beta ) = {{\cot \alpha \cot \beta  - 1} \over {\cot \alpha  + \cot \beta }}\)

Tương tự

\(\cot (\alpha  - \beta ) = {{\cot \alpha \cot \beta  + 1} \over {\cot \beta  - \cot \alpha }}\)

Do đó

\(A = \cot ({15^0} - {30^0})\cot ({15^0} + {30^0}) =  - \cot {15^0}\)

d) 

\(\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}\)

= \(\sin ({180^0} + {20^0})\sin ({360^0} - {50^0}) + c{\rm{os(36}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ -  2}}{{\rm{0}}^0}{\rm{)cos5}}{{\rm{0}}^0}\)

\( = ( - \sin {20^0})( - \sin {50^0}) + \cos {20^0}\cos {50^0}\)

\( = \cos {50^0}\cos {20^0} + \sin {50^0}\sin {20^0}\)

= \(\cos ({50^0} - {20^0}) = {{\sqrt 3 } \over 2}\)

Sachbaitap.net