Bài 23 trang 9 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A₁B₁C₁D₁ có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A₁D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5.

a)Hạ \(AK \bot {A_1}D\left( {K \in {A_1}D} \right)\). Chứng minh rằng AK=2.

b)Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A₁B₁C₁D₁.

Giải

(H.6)

a)

\(\eqalign{  & AB//{A_1}{B_1} \Rightarrow AB// \left( {{A_1}{B_1}D} \right)  \cr  &  \Rightarrow {d_{\left( {A,\left( {{A_1}{B_1}D} \right)} \right)}} = {d_{\left( {AB,{A_1}D} \right)}}.  \cr  &  \cr} \)

Ta có :

\(\eqalign{  & {A_1}{B_1} \bot \left( {A{A_1}{D_1}D} \right)  \cr  &  \Rightarrow {A_1}{B_1} \bot AK. \cr} \)

Mặt khác \({A_1}D \bot AK,\) suy ra \(AK \bot \left( {{A_1}{B_1}D} \right)\)

Vậy \(AK = d\left( {A,\left( {{A_1}{B_1}D} \right)} \right) = d\left( {AB,{A_1}D} \right) = 2\)

b) Xét tam giác vuông \({A_1}AD\), ta có :

\(A{K^2} = {A_1}K.KD.\)

Đặt A₁K = x \(4 = x\left( {5 - x} \right) \Rightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \Rightarrow \left[ \matrix{  x = 1 \hfill \cr  x = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Với x=1, \(AD = \sqrt {A{K^2} + K{D^2}}  = 2\sqrt 5 \)

\({\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = \sqrt {{A_1}{D^2} - A{D^2}}  = \sqrt 5 \)

Khi đó \({V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = 20\sqrt 5 \)

Với x=4, tương tự ta có :\({V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = 10\sqrt 5 \).

Sachbaitap.com