Bài 3.11 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:

a) \(\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx} \)  (đặt  t = 1 – x)

b)  \(\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \)   (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \))

c) \(\int\limits_1^9 {x\root 3 \of {1 - x} dx} \)  (đặt \(t = \root 3 \of {1 - x} \))

d)  \(\int\limits_{ - 1}^1 {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} }}} dx\)    (đặt \(u = \sqrt {{x^2} + x + 1} \) )

e) \(\int\limits_1^2 {{{\sqrt {1 + {x^2}} } \over {{x^4}}}} dx\)   (đặt \(t = {1 \over x}\))

g)  \(\int\limits_0^\pi  {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)   (đặt \(x = \pi  - t\)  )

h) \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{(1 - {x^3})}^4}dx} \)

i) \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {1 + {x^2}}}} \)  (đặt \(x = \tan u\) )

Hướng dẫn làm bài

a)  \( - {{13} \over {42}}\)                                               

b)    \(2 - {\pi  \over 2}\)                                   

c) \( - {{468} \over 7}\)

d) \(2(\sqrt 3  - 1)\)                                         

e) \( - {1 \over 3}({{5\sqrt 5 } \over 8} - 2\sqrt 2 )\)

g) \({{{\pi ^2}} \over 4}\)  .

HD: Đặt \(x = \pi  - t\)  , ta suy ra:

\(\int\limits_0^\pi  {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = {\pi  \over 2}\int\limits_0^\pi  {{{\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}} dx = {\pi  \over 2}\int\limits_0^\pi  {{{ - d(\cos x)} \over {1 + {{\cos }^2}x}}} \)

Vậy \(\int\limits_0^\pi  {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = {\pi  \over 2}\int\limits_{ - 1}^1 {{{dt} \over {1 + {t^2}}}} \)  .

Đặt tiếp t = tan u

h) \({{{2^5}} \over {15}}\) .

HD: Đặt t = 1 – x³

i) \({\pi  \over 4}\)

Sachbaitap.com