Bài 32 trang 121 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho sáu điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), A’(a’;0;0), B’(0;b’;0), C’(0;0;c’) với aa’ = bb’ = cc’\( \ne 0\) ;\(a \ne a',b \ne b',c \ne c'.\)

a) Chứng minh có một mặt cầu đi qua sáu điểm nói trên.

b) Chứng minh đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’).

Giải

a) Trước hết ta xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm A, A’, B, C. Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu đó, ta có \(IA{^2} =IA{'^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  {(x - a)^2} + {y^2} + {z^2} = {(x - a')^2} + {y^2} + {z^2} \hfill \cr  {(x - a)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {(y - b)^2} + {z^2} \hfill \cr  {(x - a)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {(z - c)^2} \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow \left\{ \matrix{   - 2ax + {a^2} =  - 2a'x + a{'^2} \hfill \cr   - 2ax + {a^2} =  - 2by + {b^2} \hfill \cr   - 2ax + {a^2} =  - 2cz + {c^2} \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \cr} \)

\( \Rightarrow x = {{a + a'} \over 2} \Rightarrow y = {{{b^2} + aa'} \over {2b}}\) và \(z = {{{c^2} + aa'} \over {2c}}\)

Vậy \(I = \left( {{{a + a'} \over 2};{{{b^2} + aa'} \over {2b}};{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)\)

Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có :

\(\eqalign{  & {R^2} = I{B^2} \cr&= {\left( {{{a + a'} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{aa' - {b^2}} \over {2b}}} \right)^2} + {\left( {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)^2}.  \cr  &  \cr} \)

Mặt khác :

\( I{{B\,'}^2} = {\left( {{{a + a'} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{{b^2}{\rm{ + aa}}'} \over {2b}} - b'} \right)^2} + {\left( {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)^2}  \)

\( = {\left( {{{a + a'} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{{b^2} - aa'} \over {2b}}} \right)^2} + {\left( {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)^2}  \)  (vì aa’ = bb’)

\( = IB^2 = {R^2}\) 

Tương tự \(IC\,'{^2} = I{C^2} = {R^2}.\)

Vậy B’, C’ cũng thuộc mặt cầu nói trên.

b) Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\), ta có \(\overrightarrow {OG}  = \left( {{a \over 3};{b \over 3};{c \over 3}} \right)\)

Để chứng minh OG vuông góc với mp(A’B’C’), ta chỉ cần chứng minh

\(\left\{ \matrix{  \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'B'}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'C'}  = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Vì \(\overrightarrow {A'B'}  = ( - a';b';0),\overrightarrow {A'C'}  = ( - a';0;c')\)

Nên \( \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'B'}  =  - {{aa'} \over 3} + {{bb'} \over 3} + 0 = 0   \)

\(\overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'C'}  =  - {{aa'} \over 3} + 0 + {{cc'} \over 3} = 0\) (đpcm).

Sachbaitap.com