Bài 34 trang 121 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng caoa)Cho phương trình a) Cho phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\) Xác định m để nó là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất. b) Cho phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x\cos \alpha - 2y\sin \alpha - 4z \) \(- (4 + {\sin ^2}\alpha ) = 0\) Xác định \(\alpha \) để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm \(\alpha \) để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất, lớn nhất. Giải a) Ta có a = -2m, b = 2, c = m, \(d = {m^2} + 4m.\) Phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi \(\eqalign{ & {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {( - 2m)^2} + {2^2} + {m^2} - {m^2} - 4m > 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} + 3 > 0\;\forall m. \cr} \) Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi m. Bán kính mặt cầu là : \(R = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \Rightarrow {R_{\min }} = \sqrt 3 \) khi \(m = {1 \over 2}.\) b) Ta có :\(a = \cos \alpha ,b = - \sin \alpha ,c = - 2,d = - (4 + {\sin ^2}\alpha )\) \(\eqalign{ & {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha + 4 + 4 + {\sin ^2}\alpha \cr & = 9 + {\sin ^2}\alpha > 0\;\forall \alpha . \cr} \) Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi \(\alpha \). Khi đó \(R = \sqrt {9 + {{\sin }^2}\alpha } \) Vì \(0 \le {\sin ^2}\alpha \le 1\) nên \(3 \le R \le \sqrt {10} \) Vậy \({R_{\min }} = 3\) khi \(\alpha = k\pi ,(k \in \mathbb Z).\) \({R_{\max }} = \sqrt {10} \) khi \(\alpha = {\pi \over 2} + l\pi (l \in \mathbb Z).\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 12 Nâng cao - Xem ngay >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Xem thêm tại đây:
Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
|
Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :
a)Bốn điểm A(-1;2;3), B(2;-4;3),C(4;5;6), D(3;2;1)
Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng