Bài 33 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho tam giác \(ABC.\)

a) Hãy xác định các điểm \(G, P, Q, R, S\) sao cho:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0;\\2\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  = \overrightarrow 0 ;\\\overrightarrow {QA}  + 3\overrightarrow {QB}  + 2\overrightarrow {QC}  = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {RA}  - \overrightarrow {RB}  + \overrightarrow {RC}  = \overrightarrow 0 ;\\5\overrightarrow {SA}  - 2\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow 0 \,\,;\,\,\,\,\,\end{array}\)

b) Với điểm \(O\) bất kì và với các điểm \(G, P, Q, R, S\) ở câu a), chứng minh rằng :

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OC} ;\\\overrightarrow {OP}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA}  + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OB}  + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OC} \\\overrightarrow {OQ}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {OA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OC} ;\\\,\overrightarrow {OR}  = \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \,\,;\\\overrightarrow {OS}  = \dfrac{5}{2}\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OC} .\end{array}\)

Giải

a) \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

\(2\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  = \overrightarrow 0 \)

\(\Leftrightarrow \,\,2\overrightarrow {PA}  + 2\overrightarrow {PD}  = \overrightarrow 0 \)(\(D\) là trung điểm của cạnh \(BC\)).  Vậy \(P\) là trung điểm của trung tuyến \(AD\).

\(\overrightarrow {QA}  + 3\overrightarrow {QB}  + 2\overrightarrow {QC}  = \overrightarrow 0\)

\( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {QA}  + \overrightarrow {QB}  + 2(\overrightarrow {QB}  + \overrightarrow {QC} ) = \overrightarrow {0\,} \)

\(\Leftrightarrow \,\,2\overrightarrow {QE}  + 4\overrightarrow {QD}  = \overrightarrow 0 \) (\(E\) là trung điểm cạnh \(AB, D\) là trung điểm của \(BC\)) \( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {QE}  + 2(\overrightarrow {QE}  + \overrightarrow {ED} ) = \overrightarrow 0 \)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {EQ}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {ED} \).

\(\overrightarrow {RA}  - \overrightarrow {RB}  + \overrightarrow {RC}  = \overrightarrow 0 \)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {RC}  = \overrightarrow 0 \)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {CR}  = \overrightarrow {BA} .\)

\(\begin{array}{l}5\overrightarrow {SA}  - 2\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow 0\\ \Leftrightarrow \,\,5\overrightarrow {SA}  - 2(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB} ) - (\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\overrightarrow {AS}  =  - \overrightarrow {AB}  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\end{array}\)

b) Hướng dẫn: Xuất phát từ câu a), hãy viết mỗi vec tơ thành hiệu hai vec tơ có điểm đầu là O.

Sachbaitap.com