Bài 3.35 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Cho elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\left( {0 < b < a} \right)\). Tính tỉ số: \({c \over a}\) trong các trường hợp sau:

a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiểu điểm dưới một góc vuông ;

c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

Gợi ý làm bài

a) Ta có : \(a = 3b \Rightarrow {a^2} = 9{b^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} = 9\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\)

\( \Rightarrow 9{c^2} = 8{a^2}\)

\( \Rightarrow 3c = 2\sqrt 2 a\)

Vậy \({c \over a} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\)

b) \(\widehat {{F_1}{B_1}{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow O{B_1} = {{{F_1}{F_2}} \over 2}\)

\( \Rightarrow b = c\)

\( \Rightarrow {b^2} = {c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} - {c^2} = {c^2}\)

\(\Rightarrow {a^2} = 2{c^2}\)

\( \Rightarrow a = c\sqrt 2 \)

Vậy \({c \over a} = {1 \over {\sqrt 2 }}\)

c) \({A_1}{B_1} = 2c \Rightarrow {A_1}B_1^2 = 4{c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4{c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} + {a^2} - {c^2} = 4{c^2}\)

\(\Rightarrow 2{a^2} = 5{c^2}\)

\(\Rightarrow \sqrt 2 a = \sqrt 5 c\)

Vậy \({c \over a} = \sqrt {{2 \over 5}} \)

Sachbaitap.net