Bài 3.37 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho ba điểm A(2;1), B(0;5), C(-1;-10).

a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Chứng minh I, G, H thẳng hàng.                                                                                                           

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý làm bài

a) + Trọng tâm \(G\left( { - 1; - {4 \over 3}} \right)\)

+ Tọa độ trực tâm H(x;y)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AH} (x - 2;y - 1) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = (x - 2).( - 5) + (y - 1).( - 15) \cr} \)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {BH} = (x;y - 5) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = x.( - 7) + (y - 5).( - 11) \cr} \)

Do  là trực tâm 

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
(x - 2).( - 5) + (y - 1).( - 15) = 0 \hfill \cr
x.( - 7) + (y - 5).( - 11) = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 11 \hfill \cr
y = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

+ Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I(x;y)

\(AI_{}^2 = (x - 2)_{}^2 + (y - 1)_{}^2\)

\(BI_{}^2 = x_{}^2 + (y - 5)_{}^2\)

\(CI_{}^2 = (x + 5)_{}^2 + (y + 10)_{}^2\)

Ta có:

\(\eqalign{
& AI_{}^2 = BI_{}^2 = CI_{}^2 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
AI_{}^2 = BI_{}^2 \hfill \cr
BI_{}^2 = CI_{}^2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
(x - 2)_{}^2 + (y - 1)_{}^2 = x_{}^2 + (y - 5)_{}^2 \hfill \cr
x_{}^2 + (y - 5)_{}^2 = (x + 5)_{}^2 + (y + 10)_{}^2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 7 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {IH} (18; - 1)\), \(\overrightarrow {IG} \left( {6; - {1 \over 3}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG} \) suy ra I,G,H thẳng hàng.

c) Ta có: 

\(R = IA = \sqrt {( - 7 - 2)_{}^2 + ( - 1 - 1)_{}^2}  = \sqrt {85} \)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \((x + 7)_{}^2 + (y + 1)_{}^2 = 85\)

Sachbaitap.net