Bài 38 trang 124 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng

\(\left( P  \right):3x - 8y + 7z - 1 = 0.\)

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng \(\left( { P } \right)\).

b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(P) sao cho ABC là tam giác đều.

Giải

a) Giả sử I=(x;y;z). Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = (2;0;2),\overrightarrow {AI}  = (x;y;z + 3).\)

Vì \(\overrightarrow {AI} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương nên có một số k sao cho \(\overrightarrow {AI}  = k\overrightarrow {AB} \) hay

\(\left\{ \matrix{  x = 2k \hfill \cr  y = 0 \hfill \cr  z + 3 = 2k \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  y = 0 \hfill \cr  x - z - 3 = 0. \hfill \cr}  \right.\)

Mặt khác, \(I \in \left( P \right)\) nên 3x-8y+7z-1=0. Vậy ta có hệ :

\(\left\{ \matrix{  y = 0 \hfill \cr  x - z - 3 = 0 \hfill \cr  3x - 8y + 7z - 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x = {{11} \over 5} \hfill \cr  y = 0 \hfill \cr  z =  - {4 \over 5} \hfill \cr}  \right.\)

\(\Rightarrow I = ({{11} \over 5};0; - {4 \over 5}).\)

b) Ta có \(AB = 2\sqrt 2 .\) Giả sử C=(x;y;z).

Ta phải có

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  CA = 2\sqrt 2  \hfill \cr  CB = 2\sqrt 2  \hfill \cr  C \in \left( P \right) \hfill \cr}  \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 8 \hfill \cr  {(x - 2)^2} + {y^2} + {(z + 1)^2} = 8 \hfill \cr  3x - 8y + 7z - 1 = 0 \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 8 \hfill \cr  x + z + 1 = 0 \hfill \cr  3x - 8y + 7z - 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Giải hệ bằng phương pháp thế, ta có hai nghiệm và do đó có hai điểm C :

\(C(2;-2;-3),\;C\left( { - {2 \over 3}; - {2 \over 3}; - {1 \over 3}} \right).\)

Sachbaitap.com