Bài 36 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng caoKhối chóp Khối chóp \(S.ABCD\)có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\); đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc \( \alpha \) và tạo với mặt \(\left( {SAD} \right)\) góc \(\beta \). Tính thể tích khối chóp. Giải (h.20)
AB là hình chiếu của SB trên \(mp\left( {ABC} \right)\) nên \(\widehat {SBA} = \alpha \) Dễ thấy \(BD \bot \left( {SAD} \right)\) nên hình chiếu của SB trên \(mp\left( {SAD} \right)\) là SD \( \Rightarrow \) \(\widehat {BSD} = \beta \) Do SAB và SDB là các tam giác vuông nên ta có \(SB = {{BD} \over {\sin \beta }},SB = {{AB} \over {\cos \alpha }},\) suy ra \(\eqalign{ &{{A{B^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{B{D^2}} \over {{{\sin }^2}\beta }} = {{A{B^2} - B{D^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta }} \cr&= {{{a^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta }} \cr & \Rightarrow BD = {{a\sin \beta } \over {\sqrt {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }}, \cr} \) \(\eqalign{ & SD = BD\cot \beta = {{a\cos \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }}, \cr & SA = \sqrt {S{D^2} - A{D^2}} = {{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }}. \cr & \cr} \) Vậy : \(\eqalign{ & {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SA \cr & = {1 \over 3}.a.{{a\sin \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }}.{{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }} \cr & = {{{a^3}\sin \alpha .\sin \beta } \over {3\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } \right)}}. \cr} \) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 12 Nâng cao - Xem ngay >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Xem thêm tại đây:
Bài 4. Thể tích của khối đa diện
|