Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 3.6 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau

Giải các phương trình sau

a) \(2\cos x - \sin x = 2\)

b) \(\sin 5x + \cos 5x =  - 1\)

c) \(8{\cos ^4}x - 4\cos 2x + \sin 4x - 4 = 0\)

d) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x + {1 \over 2}\sin 4x = 0\)

Giải

a) 

\(\eqalign{
& 2\cos x - \sin x = 2 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 5 \left( {{2 \over {\sqrt 5 }}\cos x - {1 \over {\sqrt 5 }}\sin x} \right) = 2 \cr} \)

Kí hiệu α là góc mà \(\cos \alpha  = {2 \over {\sqrt 5 }}\) và \({\rm{sin}}\alpha  =  - {1 \over {\sqrt 5 }}\), ta được phương trình

\(\eqalign{
& \cos \alpha \cos x + \sin \alpha \sin x = {2 \over {\sqrt 5 }} \cr
& \Leftrightarrow \cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \alpha \cr
& \Leftrightarrow x - \alpha = \pm \alpha + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2\alpha + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& \sin 5x + \cos 5x = - 1 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {{{\sqrt 2 } \over 2}\sin 5x + {{\sqrt 2 } \over 2}\cos 5x} \right) = - 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos {\pi \over 4}\sin 5x + \sin {\pi \over 4}\cos 5x = - {{\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin \left( {5x + {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( { - {\pi \over 4}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
5x + {\pi \over 4} = - {\pi \over 4} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
5x + {\pi \over 4} = {{5\pi } \over 4} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over {10}} + k{{2\pi } \over 5},k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over 5} + k{{2\pi } \over 5},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

c) 

\(\eqalign{
& 8{\cos ^4}x - 4\cos 2x + \sin 4x - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 8{\left( {{{1 + \cos 2x} \over 2}} \right)^2} - 4\cos 2x + \sin 4x - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {1 + 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right) - 4\cos 2x + \sin 4x - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x + \sin 4x - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 + \cos 4x + \sin 4x - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 4x + \sin 4x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \sin \left( {4x + {\pi \over 4}} \right) = \sin {\pi \over 4} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x + {\pi \over 4} = {\pi \over 4} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
4x + {\pi \over 4} = {{3\pi } \over 4} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

d)

\(\eqalign{
& {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 - 3{\left( {{{\sin 2x} \over 2}} \right)^2} + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 - {3 \over 4}{\sin ^2}2x + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 - {3 \over 4}.{{1 - \cos 4x} \over 2} + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 8 - 3 + 3\cos 4x + 4\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3\cos 4x + 4\sin 4x = - 5 \cr
& \Leftrightarrow {3 \over 5}\cos 4x + {4 \over 5}\sin 4x = - 1 \cr} \)

Kí hiệu α là cung mà \(\sin \alpha  = {3 \over 5},\cos \alpha  = {4 \over 5}\) ta được:

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \alpha } \right) = - 1 \cr
& \Leftrightarrow 4x + \alpha = {{3\pi } \over 2}+ k2\pi, k \in Z \cr
& \Leftrightarrow x = {{3\pi } \over 8} - {\alpha \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z \cr} \)   

Xem lời giải SGK - Toán 11 - Xem ngay

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.