Bài 5.17 trang 222 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các bất phương trình sau:

a)  \({({1 \over 2})^{{{\log }_{{1 \over 3}}}({x^2} - 3x + 1)}} < 1\)                             

b)  \(4{x^2} + {3.3^{\sqrt x }} + x{.3^{\sqrt x }} < 2{x^2}{.3^{\sqrt x }} + 2x + 6\)

c)  \({\log _x}4.{\log _2}{{5 - 12x} \over {12x - 8}} \ge 2\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Điều kiện   \(\left[ {\matrix{{x > {{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \cr {x < {{3 - \sqrt 5 } \over 2}} \cr} } \right.\)

Vì  \(0 < {1 \over 2} < 1\) và  \(1 = {({1 \over 2})^0}\)  nên ta có:

\({({1 \over 2})^{{{\log }_{{1 \over 3}}}({x^2} - 3x + 1)}} < 16\)

\(\Leftrightarrow  {\log _{{1 \over 3}}}({x^2} - 3x + 1) > 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 < 1 \Leftrightarrow  0 < x < 3\)

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left[ {\matrix{{0 < x < {{3 - \sqrt 5 } \over 2}} \cr {{{3 + \sqrt 5 } \over 2} < x < 3} \cr} } \right.\)

b) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với

\(4{x^2} + {3.3^{\sqrt x }} + x{.3^{\sqrt x }} - 2{x^2}{.3^{\sqrt x }} - 2x - 6 < 0\)

\(\Leftrightarrow (3 + x - 2{x^2}){3^{\sqrt x }} - 2(x - 2{x^2} + 3) < 0\)

\(\Leftrightarrow ( - 2{x^2} + x + 3)({3^{\sqrt x }} - 2) < 0\)

\(\Leftrightarrow  \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{{3^{\sqrt x }} - 2 < 0} \cr { - 2{x^2} + x + 3 > 0} \cr {x \ge 0} \cr}\,\,\,\, (1)} \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{{3^{\sqrt x }} - 2 > 0} \cr { - 2{x^2} + x + 3 < 0} \cr {x \ge 0} \cr}\,\,\,\, (2)} \right.} \cr} } \right.\)

\((1) \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x < \log _3^22} \cr {x \ge 0} \cr { - 1 < x < {3 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow 0 \le x < \log _3^22\)  (vì \(\log _3^22 < 1 < {3 \over 2}\))

\((2) \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{x > \log _3^22} \cr {x \ge 0} \cr {\left[ {\matrix{{x < - 1} \cr {x > {3 \over 2}} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow  x > {3 \over 2}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là  \(0 \le x < \log _3^22\)  hoặc \(x > {3 \over 2}\)

c) Điều kiện: \(\left\{ {\matrix{{x > 0} \cr {x \ne 1} \cr {{{5 - 12x} \over {12x - 8}} > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow  {5 \over {12}} < x < {2 \over 3}\,\,\,\,(*)\)

Bất phương trình đã cho tương đương với

\({2 \over {{{\log }_2}x}}.{\log _2}{{5 - 12x} \over {12x - 8}} \ge 2 \Leftrightarrow  {\log _2}{{5 - 12x} \over {12x - 8}} \le {\log _2}x\) 

(vì khi \(x \in ({5 \over {12}};{2 \over 3})\)  thì \({\log _2}x < 0\) )

\( \Leftrightarrow  {{5 - 12x} \over {12x - 8}} - x \le 0\)

\(\Leftrightarrow  {{(6x + 5)(1 - 2x)} \over {12x - 8}} \le 0\)

\(\left[ {\matrix{{ - {5 \over 6} \le x \le {1 \over 2}} \cr {x > {2 \over 3}} \cr} } \right.\).

Sachbaitap.com

Kết hợp với điều kiện  (*), ta có \({5 \over {12}} < x \le {1 \over 2}\)