Bài 52 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho hai điểm ${M_1}({x_1};{y_1};{z_1}),{M_2}({x_2};{y_2};{z_2})$ không nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0.$

Tìm điều kiện cần và đủ để :

a) Đường thẳng ${M_1}{M_2}$ cắt $\left( \alpha  \right)$;

b) Đoạn thẳng ${M_1}{M_2}$ cắt $\left( \alpha  \right)$;

c) Đường thẳng ${M_1}{M_2}$ cắt $\left( \alpha  \right)$ tại I sao cho M₁ nằm giữa I và M₂.

d) Đường thẳng ${M_1}{M_2}$ cắt $\left( \alpha  \right)$ tại I sao cho M₂ nằm giữa I và M₁.

Giải

a) Đường thẳng ${M_1}{M_2}$ cắt $\left( \alpha  \right)$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}$ không vuông góc với $\overrightarrow n \left( {A,B,C} \right)$ $\overrightarrow n$ là vec tơ pháp tuyến của $\left( \alpha  \right)$, tức là :

$\eqalign{  & \overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\overrightarrow n  = 0\cr& \Leftrightarrow A({x_2} - {x_1}) + B({y_2} - {y_1}) + C({z_2} - {z_1}) \ne 0  \cr}$

b) Đoạn thẳng ${M_1}{M_2}$ cắt $\left( \alpha  \right)$ khi và chỉ khi có một điểm I thuộc$\left( \alpha  \right)$ và chia đoạn thẳng ${M_1}{M_2}$ theo một tỉ số k<0. Gọi $\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là tọa độ của điểm I, ta có :

${x_0} = {{{x_1} - k{x_2}} \over {1 - k}},{x_0} = {{{y_1} - k{y_2}} \over {1 - k}},{x_0} = {{{z_1} - k{z_2}} \over {1 - k}}$

Và $A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0$.

$\Rightarrow A\left( {{{{x_1} - k{x_2}} \over {1 - k}}} \right) + B\left( {{{{y_1} - k{y_2}} \over {1 - k}}} \right) + C\left( {{{{z_1} - k{z_2}} \over {1 - k}}} \right) + D = 0$

Vì k < 0 nên điều kiện trên tương đương với điều kiện

c) ${M_1}$ nằm giữa I và ${M_2}$ $\Leftrightarrow I$ chia đoạn ${M_1}{M_2}$ theo tỉ số k mà 0< k <1.

Ta vẫn có điều kiện $\left(  *  \right)$, nhưng vì 0< k <1 nên điều kiện đó tương đương với điều kiện:

$0 < {{A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D} \over {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D}} < 1.$

d) Tương tự như trên, ta có điều kiện :

$0 < {{A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \over {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D}} < 1.$

Chú ý : Từ kết quả trên ta suy ra kết luận sau:

Hai điểm ${M_1}({x_1};{y_1};{z_1})$ và ${M_2}({x_2};{y_2};{z_2})$ nằm cùng một phía đối với mặt phẳng $\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0.$ khi và chỉ khi

Sachbaitap.com