Bài 68 trang 63 SBT Hình học 11 nâng cao.

68. Trang 63 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

 Chứng minh rằng nếu n đường thẳng \(\left( {n \ge 3} \right)\) đôi một cắt nhau và không đồng phẳng thì chúng đồng quy.

Giải

Ta nhận thấy rằng: Nếu ba đường thẳng bất kì trong n đường thẳng \(\left( {n \ge 3} \right)\)   đã cho đồng quy thì n đường thẳng đó đồng quy. Còn nếu tồn tại ba đường thẳng không đồng quy mà từng đôi một cắt nhau tại ba điểm A, B, C rõ ràng A, B, C không thẳng hàng. Khi đó các đường thẳng còn lại đều cắt ba đường thẳng nói trên nên chúng đều thuộc mp(ABC) (trái với giả thiết). Vậy ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 3.

Giả sử ba đường thẳng đã cho là a, b và c; A, B, C lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng b và c, c và a, a và b. Nếu các điểm A, B, C phân biệt từng cặp thì dễ thấy a, b, c đều thuộc mp(ABC) (trái với giả thiết. Vậy các điểm A, B, C phải trùng nhau. Do đó ba đường thẳng a, b, c đồng quy.

sachbaitap.com