Bài 7 trang 39 SBT Hình học 10 Nâng cao

Biết \(\sin x+\cos x=m.\)

a) Tìm \(\sin x.\cos x.\)

b) Tìm \(\sin^4x+\cos^4x.\)

c) Tìm \(\sin^6x+\cos^6 x.\)

d) Chứng minh rằng \( - \sqrt 2  \le m \le \sqrt 2 \)

Giải

a) Bình phương hai vế và áp dụng bài 3a) ta có \(\sin x\cos x = \dfrac{{{m^2} - 1}}{2}\).

b) Ta có

\(\begin{array}{l}{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {({\sin ^2}x)^2} + {({\cos ^2}x)^2}\\ = {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\\= 1 - \dfrac{{{{({m^2} - 1)}^2}}}{2} = \dfrac{{1 + 2{m^2} - {m^4}}}{2}.\end{array}\)

c) Viết lại

\({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {({\sin ^2}x)^3} + {({\cos ^2}x)^3}\) rồi sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b).\)

Ta có

\({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {({\sin ^2}x)^3} + {({\cos ^2}x)^3}\)

\(= \dfrac{{ - 3{m^4} + 6{m^2} + 1}}{4}.\)

d) Từ giả thiết suy ra \(\sin x=m-\cos x.\) Lại có \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\). Từ đó dẫn đến \(\cos x\) là nghiệm của phương trình \(2{t^2} - 2mt + {m^2} - 1 = 0\) nên \(\Delta ' \ge 0\), từ đó suy ra \({m^2} \le 2\) hay \( - \sqrt 2  \le m \le \sqrt 2 \).

Sachbaitap.com