Bài 10 trang 40 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho tam giác $ABC$ có $AB=7, AC=5,$ $\widehat A = {120^0}$.

a) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}$.

b) Tính độ dài trung tuyến $AM$ của tam giác ($M$ là trung điểm của $BC$ ).

Giải

a) Ta có

 $\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos {120^0}\\ =  - \dfrac{{35}}{2}.\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )\\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - {\overrightarrow {AB} ^2}\\ =  - \dfrac{{35}}{2} - 49 =  - \dfrac{{133}}{2}.\end{array}$

b) M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC)}$, suy ra

${\overrightarrow {AM} ^2} = \dfrac{1}{4}({\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} )$

$= \dfrac{1}{4}(49 + 25 - 35) = \dfrac{{39}}{4}$,

suy ra $AM = \dfrac{{\sqrt {39} }}{2}.$

Sachbaitap.com