Bài 85 trang 51 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho tam giác đều $BAC$ có cạnh bằng $1$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $C$ qua đường thẳng $AB, M$ là trung điểm của cạnh $CB.$

a) Xác định trên đường thẳng $AC$ một điểm $N$ sao cho tam giác $MDN$ vuông tại $D$. Tính diện tích tam giác đó.

b) Xác định trên đường thẳng $AC$ điểm $P$ sao cho tam giác $MPD$ vuông tại $M$. Tính diện tích tam giác đó.

c) Tính côsin của góc hợp bởi hai đường thẳng $MP$ và $PD.$

Giải

(h.71).

Đặt $\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow a   ;  \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow b$.

Khi đó $\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  ;  \overrightarrow {CM}  = \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}  ;$ ${\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = 1 ;  \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \dfrac{1}{2}$.

a) Giả sử $\overrightarrow {CN}  = n\overrightarrow {CA}  = n\overrightarrow a$. Khi đó ta có

$\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow a  + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} ;$ $\overrightarrow {ND}  = \overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CN}  = (1 - n)\overrightarrow a  + \overrightarrow b$.

Suy ra$\begin{array}{l}\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {ND}  = \left( {\overrightarrow a  + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}} \right)\left[ {(1 - n)\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right]\\                    = (1 - n){\overrightarrow a ^2} + \dfrac{{{{\overrightarrow b }^2}}}{2} + \left( {1 + \dfrac{{1 - n}}{2}} \right)\overrightarrow a .\overrightarrow b \\                    = 1 - n + \dfrac{1}{2} + \dfrac{{3 - n}}{4} = \dfrac{{9 - 5n}}{4}.\end{array}$

Để tam giác MDN vuông tại D ta phải có $\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {ND}  = \overrightarrow 0$ hay $n = \dfrac{9}{5}$.

Vậy $\overrightarrow {CN}  = \dfrac{9}{5}\overrightarrow a$.

Để tính diện tích tam giác MDN, ta tính bình phương độ dài hai cạnh MD và ND :

$\begin{array}{l}M{D^2} = {\overrightarrow {MD} ^2} = {\left( {\overrightarrow a  + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}} \right)^2}\\ = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{4}.\\N{D^2} = {\overrightarrow {ND} ^2} = {\left( { - \dfrac{4}{5}\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2}\\ = \dfrac{{16}}{{25}} + 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{{21}}{{25}}.\end{array}$.

Vậy ${S_{MDN}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{7}{4}.\dfrac{{21}}{{25}}}  = \dfrac{{7\sqrt 3 }}{{20}}$.

b) Giả sử $\overrightarrow {CP}  = p\overrightarrow {CA}  = p\overrightarrow a$. Ta có $\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {CP}  - \overrightarrow {CM}  = p\overrightarrow a  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow b$.

Khi đó $\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MP}  = \left( {\overrightarrow a  + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}} \right)\left( {p\overrightarrow a  - \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}} \right) \\= p - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{p}{4} = \dfrac{{5p - 2}}{4}.$

Để tam giác PMD vuông tại M ta phải có $\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow 0$ hay $p = \dfrac{2}{5}$, tức $\overrightarrow {CP}  = \dfrac{2}{5}\overrightarrow a$.

Khi đó $M{P^2} = {\overrightarrow {MP} ^2} = {\left( {\dfrac{2}{5}\overrightarrow a  - \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}} \right)^2}\\ = \dfrac{4}{{25}} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{{21}}{{100}}.$

Vậy ${S_{PMD}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{21}}{{100}}.\dfrac{7}{4}}  = \dfrac{{7\sqrt 3 }}{{40}}$.

c) Theo trên, ta có $\overrightarrow {MP}  = \dfrac{{2\overrightarrow a }}{5} - \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} ;$

$\overrightarrow {PD}  = \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CP}$

$= \overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \dfrac{2}{5}\overrightarrow a  = \dfrac{3}{5}\overrightarrow a  + \overrightarrow b$.

Bởi vậy

$\begin{array}{l}{\overrightarrow {MP} ^2} = \dfrac{4}{{25}} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{{21}}{{100}} ; \\ {\overrightarrow {PD} ^2} = \dfrac{9}{{25}} + 1 + \dfrac{3}{5} = \dfrac{{49}}{{25}}.\\\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {PD}  = \dfrac{6}{{25}} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{{20}} - \dfrac{1}{2}\\ =  - \dfrac{{21}}{{100}}.\end{array}$

Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD ta có

$\cos \alpha  = \dfrac{{|\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {PD} |}}{{|\overrightarrow {MP} |.|\overrightarrow {PD} |}}\\ = \dfrac{{21}}{{100}}:\left( {\sqrt {\dfrac{{21}}{{100}}} .\sqrt {\dfrac{{49}}{{25}}} } \right)\\ = \dfrac{{\sqrt {21} }}{{10}}.\dfrac{5}{7} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{{14}}$.

Sachbaitap.com