Bài 87 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu

                   (S) :x² + y² +z² - 10x + 2y + 26z - 113= 0

Và hai đường thẳng:

d: \({{x + 5} \over 2} = {{y - 1} \over { - 3}} = {{z + 13} \over 2};\)                                 

d’:\(\left\{ \matrix{  x =  - 7 + 3t \hfill \cr  y =  - 1 - 2t \hfill \cr  z = 8 \hfill \cr}  \right.\)

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d.

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d, d'  .

Giải

a) Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u  = \left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)

Mặt phẳng (P) vuông góc với d, do đó có dạng :

\(\left( P \right):2x - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + D = {\rm{ }}0.\)

Mặt cầu (S) có tâm \(I = {\rm{ }}\left( {5{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }} - 13} \right)\) và bán kính R =\(\sqrt {308} \), vì vậy (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {308} \)

                     \(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{\left| {10 + 3 - 26 + D} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 4} }} = \sqrt {308}   \cr  &  \Leftrightarrow \left| {D - 13} \right| = \sqrt {17.308}  \Rightarrow D = 13 \pm \sqrt {5236} . \cr} \)

Tóm lại, có hai mp(P) thoả mãn yêu cầu đầu bài là

                     \(2x{\rm{ }} - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}13{\rm{ }} \pm {\rm{ }}\sqrt {5236} {\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

 b) Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u  = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)

Vectơ chỉ phương của d' là \(\overrightarrow {u'}  = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right).\)

Mặt phẳng (Q) cần tìm có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = {\rm{ }}\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}6{\rm{ }};{\rm{ }}5} \right).\)

Vì vậy phương trình của mp(Q) có dạng : \(4x + 6y + 5z + D = 0.\)

Để (Q) tiếp xúc với (S), điều kiện là :

\(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \sqrt {308}  \Leftrightarrow {{\left| {20 - 6 - 65 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 36 + 25} }} = \sqrt {308} \)

\( \Leftrightarrow \left| {D - 5} \right| = \sqrt {23716}  = 154 \Rightarrow \left[ \matrix{  D =  - 103 \hfill \cr  D = 205. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy có hai mặt phẳng (Q) cần tìm :

                 \(\eqalign{  & 4x + 6y + 5z - 103 = 0,  \cr  & 4x + 6y + 5z + 205 = 0. \cr} \)

Sachbaitap.com