Câu 1.10 trang 8 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ mỗi hàm số:

a) \(y = {1 \over {\sin x}}\)                                         

b) \(y = {1 \over {\cos x}}\)                             

c)\(y = {\tan ^2}x\)

Giải

a) \(y = {1 \over {\sin x}}\) là hàm số xác định trên \({D_2}\). Cần tìm số T thỏa mãn:

\(\forall x \in {D_2},x + T \in {D_2},x - T \in {D_2},{1 \over {\sin (x + T)}} = {1 \over {\sin x}}\) . Xét \(x = {\pi  \over 2} \in {D_2}\), ta được \(\sin \left( {{\pi  \over 2} + T} \right) = 1,\) từ đó \({\pi  \over 2} + T = {\pi  \over 2} + k2\pi ,\) tức \(T = k2\pi ,\) k là số nguyên.

Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k2\pi \) thỏa mãn: \(\forall x \in {D_2},x + T \in {D_2},x - T \in {D_2}\) và \({1 \over {\sin \left( {x + T} \right)}} = {1 \over {\sin x}}\). Vậy hàm số  \(y = {1 \over {\sin x}}\) là một hàm tuần hoàn với chu kì \(2\pi \). Đó là một hàm số lẻ.

b)  \(y = {1 \over {\cos x}}\) là hàm số xác định trên \({D_1}\). Cần tìm số T thỏa mãn:

 \(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\), \({1 \over {\cos \left( {x + T} \right)}} = {1 \over {\cos x}}\). Xét \(x = 0 \in {D_1},\) ta được \(\cos T = 1\), từ đó \(T = k2\pi ,\) k là số nguyên. Rõ ràng với mọi số nguyên k, số  \(T = k2\pi \) thỏa mãn các điều kiện đề ra. Vậy hàm số \(y = {1 \over {\cos x}}\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \). Đó là một hàm số chẵn.

c)  \(y = {\tan ^2}x\), cần tìm số T thỏa mãn:

\(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\), \({\tan ^2}\left( {x + T} \right) = {\tan ^2}x.\) Xét \(x = 0 \in {D_1},\) ta được \({\tan ^2}T = 0,\) từ đó \(\tan T = 0,\) suy ra \(\tan T = k\pi \), k là số nguyên. Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k\pi \) thỏa mãn:

 \(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\) và \({\tan ^2}\left( {x + T} \right) = {\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) = {\tan ^2}x.\) Vậy hàm số \({\tan ^2}x\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

sachbaitap.com