Câu 12.2 trang 99 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác của bốn góc vuông có đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì ?

Giải:                                                                            

Ta có: \(\widehat {AOB}\) và \(\widehat {COD}\) đối đỉnh nên E, O, G thẳng hàng

\(\widehat {BOC}\)và \(\widehat {AOD}\) đối đỉnh nên F, O, H thẳng hàng

Xét ∆ BEO và ∆ BFO:

\(\widehat {EBO} = \widehat {FBO}\) (tính chất hình thoi)

OB cạnh chung

\(\widehat {EOB} = \widehat {FOB} = {45^0}\) (gt)

Do đó: ∆ BEO = ∆ BFO (g.c.g)

⇒ OE = OF (1)

Xét ∆ BEO và ∆ DGO:

\(\widehat {EBO} = \widehat {GDO}\) (so le trong)

OB = OD(tính chất hình thoi)

\(\widehat {EOB} = \widehat {GOD}\) (đối đỉnh)

Do đó: ∆ BEO = ∆ DGO (g.c.g)

⇒ OE = OG (2)

Xét ∆ AEO và ∆ AHO:

\(\widehat {EAO} = \widehat {HAO}\) (tính chất hình thoi)

OA cạnh chung

\(\widehat {EOA} = \widehat {HOA} = {45^0}\) (gt)

Do đó: ∆ AEO = ∆ AHO (g.c.g)

⇒ OE = OH (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: OE = OF = OG = OH hay EG = FH

nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau)

OE ⊥ OF (tính chất hai góc kề bù)

hay EG ⊥ FH

Vậy hình chữ nhật EFGH là hình vuông.

Sachbaitap.com