Câu 1.45 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng caoTìm các nghiệm của phương trình trên khoảng Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng \(\left( {{\pi \over 4};{{5\pi } \over 4}} \right)\) rồi tìm giá trị gần đúng của chúng, chính xác đến hàng phần trăm: \(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\) Giải Ta có: \(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\) \( \Leftrightarrow \cos x + \sin x + {{\sin x + \cos x} \over {\sin x\cos x}} = {{10} \over 3}\) Đặt \(t = \cos x + \sin x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Khi đó \(\sin x\cos x = {{{t^2} - 1} \over 2}\) và phương trình trở thành \(t + {{2t} \over {{t^2} - 1}} = {{10} \over 3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Với điều kiện \(t \ne \pm 1,\) ta có: \((1) \Leftrightarrow 3{t^2} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0\) Phương trình này có ba nghiệm \({t_1} = 2,{t_2} = {{2 + \sqrt {19} } \over 3}\) và \({t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}.\) Tuy nhiên, chỉ có \({t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}\) là thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Do đó phương trình đa cho tương đương với \(\cos x + \sin x = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}\) hay \(\cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\) Điều kiện \({\pi \over 4} < x < {{5\pi } \over 4}\) tương đương với điều kiện \(0 < x - {\pi \over 4} < \pi .\) Với điều kiện đó ta có \((2) \Leftrightarrow x - {\pi \over 4} = \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\) \(\Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\) Lấy các giá trị gần đúng \({\pi \over 4} \approx 0,785\) và \(\arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }} \approx 2,160\) ta được \(x \approx 2,95.\) sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Xem thêm tại đây:
Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản
|
Biết rằng các số rađian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình
Hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm