Câu 1.45 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng caoTìm các nghiệm của phương trình trên khoảng Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng \(\left( {{\pi \over 4};{{5\pi } \over 4}} \right)\) rồi tìm giá trị gần đúng của chúng, chính xác đến hàng phần trăm: \(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\) Giải Ta có: \(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\) \( \Leftrightarrow \cos x + \sin x + {{\sin x + \cos x} \over {\sin x\cos x}} = {{10} \over 3}\) Đặt \(t = \cos x + \sin x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Khi đó \(\sin x\cos x = {{{t^2} - 1} \over 2}\) và phương trình trở thành \(t + {{2t} \over {{t^2} - 1}} = {{10} \over 3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Với điều kiện \(t \ne \pm 1,\) ta có: \((1) \Leftrightarrow 3{t^2} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0\) Phương trình này có ba nghiệm \({t_1} = 2,{t_2} = {{2 + \sqrt {19} } \over 3}\) và \({t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}.\) Tuy nhiên, chỉ có \({t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}\) là thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Do đó phương trình đa cho tương đương với \(\cos x + \sin x = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}\) hay \(\cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\) Điều kiện \({\pi \over 4} < x < {{5\pi } \over 4}\) tương đương với điều kiện \(0 < x - {\pi \over 4} < \pi .\) Với điều kiện đó ta có \((2) \Leftrightarrow x - {\pi \over 4} = \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\) \(\Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\) Lấy các giá trị gần đúng \({\pi \over 4} \approx 0,785\) và \(\arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }} \approx 2,160\) ta được \(x \approx 2,95.\) sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
Xem thêm tại đây:
Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản
|
Biết rằng các số rađian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình
Hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm