Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 1.45 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng

Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng \(\left( {{\pi  \over 4};{{5\pi } \over 4}} \right)\) rồi tìm giá trị gần đúng của chúng, chính xác đến hàng phần trăm:

           \(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\)

Giải

Ta có:      \(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\)

               \( \Leftrightarrow \cos x + \sin x + {{\sin x + \cos x} \over {\sin x\cos x}} = {{10} \over 3}\)

Đặt \(t = \cos x + \sin x\)  với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Khi đó \(\sin x\cos x = {{{t^2} - 1} \over 2}\) và phương trình trở thành

                \(t + {{2t} \over {{t^2} - 1}} = {{10} \over 3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Với điều kiện \(t \ne  \pm 1,\) ta có:

\((1) \Leftrightarrow 3{t^2} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0\)

Phương trình này có ba nghiệm \({t_1} = 2,{t_2} = {{2 + \sqrt {19} } \over 3}\) và \({t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}.\)

Tuy nhiên, chỉ có \({t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}\) là thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Do đó phương trình đa cho tương đương với \(\cos x + \sin x = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}\) hay

              \(\cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Điều kiện  \({\pi  \over 4} < x < {{5\pi } \over 4}\) tương đương với điều kiện \(0 < x   - {\pi  \over 4} < \pi .\) Với điều kiện đó ta có

\((2) \Leftrightarrow x - {\pi  \over 4} = \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\)

       \(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\)

Lấy các giá trị gần đúng \({\pi  \over 4} \approx 0,785\) và \(\arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }} \approx 2,160\) ta được \(x \approx 2,95.\)

sachbaitap.com

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.