Câu 15 trang 240 SBT Đại số 10 Nâng cao

So sánh các số sau đây

a) \(\sqrt {2003}  + \sqrt {2004} \) và \(\sqrt {2000}  + \sqrt {2007} \)

b)  và \(\sqrt n  + \sqrt {n + 7} \)

c) \(\sqrt a  + \sqrt b \) và \(\sqrt {a - c}  + \sqrt {b + c} \), với \(b > a > c > 0\).

Giải:

a) \(\sqrt {2003}  + \sqrt {2004}  > \sqrt {2000}  + \sqrt {2007} ;\)

b) \(\sqrt {n + 3}  + \sqrt {n + 4}  > \sqrt n  + \sqrt {n + 7} \left( {n \ge 0} \right)\);

c) Nhận thấy \({\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2} = a + b + 2\sqrt {ab} \)

\({\left( {\sqrt {a - c}  + \sqrt {b + c} } \right)^2} = a + b + 2\sqrt {\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right)} ;\)

Do \(\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right) = ab + c\left( {a - b - c} \right) < ab\) (vì \(b > a > c > 0\))

nên \(2\sqrt {\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right)}  < 2\sqrt {ab} .\) Vì vậy \(\sqrt a  + \sqrt b  > \sqrt {a - c}  + \sqrt {b + c} .\)

Sachbaitap.com