Câu 1.66 trang 23 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số

                 \(y = {{mx - 1} \over {x - m}},m \ne  \pm 1\)

Gọi \(\left( {{H_m}} \right)\) là đồ thị của hàm số đã cho.   

a) Chứng minh rằng với mọi \(m \ne  \pm 1\), đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định A và B.                       

b) Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của \(\left( {{H_m}} \right)\). Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.

Giải

a) Đồ thị \(\left( {{H_m}} \right)\) của hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi

\({y_0} = {{m{x_0} - 1} \over {{x_0} - m}}\)

Với mọi \(m \ne  \pm 1\) , đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua điểm \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi phương trình trên (với ẩn số m) nghiệm đúng với mọi \(m \ne  \pm 1\).

Với mọi \(m \ne  \pm 1\), phương trình trên tương đương với phương trình

                \(\eqalign{& {y_0}\left( {{x_0} - m} \right) = m{x_0} - 1  \cr &  \Leftrightarrow \left( {{x_0} + {y_0}} \right)m = {x_0}{y_0} + 1 \cr} \)                                                      

Phương trình nghiệm đúng với mọi \(m \ne  \pm 1\) khi và chỉ khi

                 \(\left\{ \matrix{{x_0} + {y_0} = 0 \hfill \cr {x_0}{y_0} + 1 = 0 \hfill \cr}  \right.\)

            \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{y_0} =  - {x_0} \hfill \cr - x_0^2 + 1 = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Hệ phương trình tương đương với mọi \(m \ne  \pm 1\), đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định A(-1;1) và B(1;-1)

b) Tập hợp các điểm M khi m lấy các giá trị trong tập hợp \(R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\) là đường thẳng  y = x bỏ đi hai điểm (-1;-1) và (1;1)

Sachbaitap.com